L'ëquatioR

(i) Li« + My* 4- Ni' = H ■ représente une surface imaginaire si les coefficients L, H, Nsont négatirs; eir il est impossible de satisfaire à l'équatioa par des valeurs réelles de X, y, s. Si B =■ o, on a l'équation

U' + My*4-Nz» = o; elle définit un ellipsoïde qui se réduit à un point, l'origine des coordonnées, car on ne peut y satisfaire qu'en posant x =;/ = z=^o.

Enfin, supposons que les coefficients soient positifs et différents de zéro. L'équation (i) pourra s'écrire sons la forme

les quantités a, 6, c sont réelles et désignent les distances à l'origine des points de rencontre de la surface avec les axes des coordonnées, de sorte que 2a, 2&, 2c sont les longueurs des axes de la surface. En vertu de ces égalités, l'équation de l'ellipsoïde rapporté h son centre et h ses axes peut se mettre sous la forme

à a, 6, c, on obtiendra les t

ou bien, en chassant lesdénominaleurs,

(a') 6'd'a!*-fc'a'y»-4-a'6V=o'6*c'.

Si on porte, sur les axes et de chaque

c6(é de l'origine, des longueurs ^ales

points A et A', B et B', C et C qui se

oommeat les sommets de la surface; en admettant a ^ 6 ^ e, la distance 2a = AÂ' est l'axe majeur , 26 =» BB' Vaxe moyen ^ 2e es CC I^oxe mineur.

Pour trouver les équations de Tellipsoîde rapporté & Tun de ses sommets A% B% C% il faudrait changer successivement x en x — a, y en y — b^ z en x — e : on trouve ainsi les équations

179. $ec(tbn« plane». Les intersections de rcllipsoïde (?) arec les plans principaux sont représentées par les équations

a* ir

Ce sont des ellipses qui passent par les sommets de l'ellipsoïde dans le plan où elles se trouvent.

Un plan parallèle à yz rencontre la surface suivant une ellipse définie par les équations

et dont les demi-axes seront

puisque la projection sur yz de la courbe d'intersection est égale en grandeur à cette courbe; l'ellipse est réelle, et diminue de plus

eo plus à mesure que a s*approche de a, c*est-i-dire, à mesure que le plan sécant s*éloigne de l'origine pour aller vers le sommet A; si a »= a, rintersection se réduit k un point, ou à une ellipse dont les axes sont nuls; si a y^ a, elle est imaginaire. On arrivera aux mêmes résultats lorsque a est négatif, c'est-à-dire, lorsque le plan sécant est à gauche de l'origine. Ainsi la surface ne s'étend pas au-delà des points A et A^ En considérant les sections faites par des plans parallèles aux autres plans coordonnés, on verra qu'elles sont elliptiques et réelles aussi longtemps que le plan sécant se trouve entre le centre et les sommets de la surface.

Enfin, soit z^^mx + ny+p un plan quelconque; éliminons la variable z entre cette équation et celle de l'ellipsoïde (2). On aura

^' 1 y* I '^^ + wy + p)' ,

En développant^ on trouve, pour la valeur du bindme B* — AC, l'expression

qui est toujours négative; donc l'équation (a) représente une ellipse dans le plan des xy, quelles que soient les valeurs des coefficients lit, n,/>. Mais, cette ellipse est la projection sur xy de la courbe d'intersection ; par suite, tout plan rencontre la surface suivant une ellipse.

Il est important de remarquer que les sections parallèles sont des courbes semblables. En effet, si les coefficients m et n sont constants et p variable, l'équation z^mx-^-ny-^p définit des plans parallèles; or, les termes du second degré dans l'équation (a) sont indépendants du paramètre p; donc les courbes qu'elle représente, lorsqu'on fait varier p, seront semblables. Cette propriété est vraie pour toutes les surfaces du second ordre.

Si on veut déterminer la nature de la section par un plan quelconque il suffira de considérer la section d'un plan mené par le centre parallèlement au premier. Nous allons faire usage de cette remarque pour déterminer les plans des sections circulaires.

176. Sections circulaires ; ombilics. Considérons un plan mené par le centre de l'ellipsoïde et coupant cette surface suivant un cercle de

rayon r; ce dernier appartiendra à une sphère ayant pour centre l'origine^ et représentée par Téquation

Si on retranche membre à membre les équations de l'ellipsoïde (2) et de la sphère, on aura

Cette équation est satisfaite en même temps que celles des deux surfaces; comme elle est homogène et du second degré, elle représente un cône dont le sommet est à Torigine et qui passe par la courbe d'intersection de la sphère et de rellipsoîde. Or, pour que ces surfaces aient en commun une section centrale circulaire, il faut et il suffit que leur intersection se réduise à deux courbes planes dont les plans passent par le centre. On obtiendra donc les plans des sections circulaires appelés plans eycliqueSf en déterminant r de manière que le cône se réduise à Tensemble de deux plans; ce qui exige que l'un des termes disparaisse de l'équation (P). Si nous posons successivement r=^ay r^=b, r = e, il viendra pour les équations des pians cycliques

En admettant a ]> 6 ^ c, la première et la troisième représentent des plans imaginaires; la seconde peut se ramener à la forme

et définit deux plans réels passant par Taxe moyen de la surface*

Si oa dësigae par 6 l'angle d'inclinaisoa de ces plans sur xy^ on aura

cos

et, par suite,

Donc re/ltp^oide admet deux a^r/e^ de êections circulaires parallèles à l'axe moyen de la surface.

Les sections parallèles dans une surface du second ordre étant semblables, on doit considérer le plan tangent parallèle aux plans cycliques comme coupant Pellipsoide suivant un cercle infiniment petit; le point de contact de ce plan tangent particulier se nomme ombilic. Menons par le centre, et dans Tellipse principale du plan des xz, un diamètre égal & 26; le plan passant par ce diamètre et Taxe moyen sera un plan cyclique. Désignons par x', z' les coordonnées de l'extrémité du conjugué du diamètre 2b dans l'ellipse

Nous verrons plus loin que le plan tangent au point (x^, o, zf) est parallèle au plan cyclique, c'est-i-dire, au plan diamétral conjugué du diamètre qui passe par ce point. Or, on sait que

6« = a* — c V» = a« -^ ^ "7^ a?" ; d'où

x' = :iza\/— -; par suite, z' = ztc\/— ;•

En y ajoutant y'sao, on aura les coordonnées des ombilics de l'ellipsoïde.

177. Il résulte de la discussion précédente, que le genre ellipsoïde comprend les surfaces du second ordre fermées dans tous les sens et k trois axes inégaux; elles ne peuvent être rencontrées par un plan que suivant une ellipse; elles admettent deux séries de sections eircù-

laires parallèles h l'axe moyen de la surface. Nous allons maintenant faire connaître quelques cas particuliers.

Si» dans l'équation (i), deux coeflScieuts sont égaux dans le premier membre, par exemple si L => M, il vient

ou bien,

tout plan parallèle & xy coupe la surface suivant un cercle dont le centre est sur Taxe des x^ et l'ellipsoïde est de révolution autour de cet axe. Si L &» M «= N, l'ellipsoïde devient une sphère.

Lorsque l'un des coefficients L, M, N est égal à zéro, l'équation (i) se présente sous la forme

et Tellipsoïde se réduit & un cylindre elliptique. Enfin, si L e= o, H B3 0, il yient Téquation

qui définit deux plans parallèles.

Ainsi le genre ellipsoïde comprend comme variétés, l'ellipsoïde de révolution, la sphère, le cylindre elliptique, deux plans parallèles, et le point.

17S« Les coordonnées d'un point de l'ellipsoïde

sont toujours comprises entre les quantités db a, ±6, d: c, et on peut poser

a; sa a cos A, y = 6 cos fx, « «= c cos v,

^, p, V étant trois coefficients variables avec la position du point sur la surface. Substituons ces expressions dans l'équation précédente; on aura

cos*A -|- COS'jUl -j- cos*v = î ,

Il en résulte que les paramètres )., fit, v désignent les angles d*une certaine droite issue de l'origine avec les axes de Tellipsoîde. A chaque point de- la surface correspond une droite (X, p, v), et réciproquement. Pour le sommet A où x = a^ y s=s o^ z b= o, on aura cos A «s i, cosfAE=o, cosveso : la droite (A, |ui»v) est dirigée suivant l'axe 2a; mais, cette circonstance est exceptionnelle, et, en général, la droite (A, /ji, v) ne passe pas par le point correspondant de la surface.

Si on mène par le centre deux droites perpendiculaires (A'p'v'), (V'fx' V), on a la relation

cos A' cos A" + cos fji' cos ft" + cos v' cos y" = o;

les points correspondants (xy^'), {x"y*'z*') satisferont i l'équation

Réciproquement, lorsque deux points vérifient la dernière égalité, les droites correspondantes, donnant lieu à la première, seront perpendiculaires entre elles.

La longueur d'un diamètre qui passe par le point {x'y'z') aura pour expression

d« = a;'« + y'» + z'* = a« cos'A' -j- 6« cos^fx' + c« cos*v'.

On donne quelquefois le nom de coordonnées angulaires aux quantités A, |[ji, V. Nous ferons souvent usage de ces coordonnées pour faciliter la démonstration de plusieurs théorèmes.

170. Plan tangent. Soit {x'y'z') un point de rdlipsoîde rapporté i son centre et i ses axes. L'équation du plan tangent en ce point sera de la forme (N^* d75)

(a;a:')^+fy-y')|i + {«-^')^ = o.

OU bien,

x" v" «'* eu égard & l'égalité -r + ^rH — r = i« Avec les coordonnées

angulaires, cette équation serait

- cos >/ +r cos a' + - cos v' «= I.

Désignons par P la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent, et par a, ^, y les angles qu'elle fait avec les axes. L'équation du plan tangent peut encore s'écrire

a; cos a + y cos p + jK cos y = P. Identifions cette dernière avec les précédentes; il Tiendra les égalités

a cos'

x' cos a y' cosP z' cos y

V cos a cos pi' cos ^ cos v' cos y

On en déduit différentes expressions pour la longueur de la perpendiculaire, savoir :

I *'*i y" I *" ^ cos'V cos*/jl' cos'v'

P» srs o* COS* a + 6' cos* (3 + c' cos* y.

150. La somme des carrés des perpendiculaires abaissées du centre sur trois plans tangents rectangulaires est constante.

Soient ai|3iyi, (Xt/3iys, az^zyn les angles directeurs des droites menées du centre perpendiculairement h trois plans tangents rectangulaires. On aura

PJ = o' cos* «1 + 6* cos* (3j + c* cos yi,

pj = o* cos* a% -j- 6* cos* Pt -|" c' cos* yt,

P* = o* cos* as -j- 6* cos* jSj + c* cos* y«.

De plus, les cosinus yérifient les relations cos*ai -|- cos*aî+ cos*a8= i, etc.; de sorte qu*en additionnant les équations précédentes, il viendra

PÎ + PÎ + PÎ = «* + t' + c'-

151. Le lieu du sommet d'un trièdre trirecf angle circonscrit à une surface du second ordre est une sphère (Mongb).

Les équations de (rois plans tangents k l'ellipsoïde peuTcnt 8*ëerire sous la forme

X cos «4 + y cos |3| + « cos yi = ^/a* cos* «i + 6* cos* ^i + c* cos* yi,

X cos «1 -{- y cos (3t -f- 2 cos yi = ^a* cos* at + 6* cos* j3j 4" c* cos' yt,

a: cos «i + y cos (3s + ^ ^^^ 7» = |/«* cos* as -|- 6* cos* ^s + c* cos* (85 .

Si ces plans sont rectangulaires^ on a les relations

cos* ai +C08* ai + cos*a8s=« i, ,

cos aj cos Pi 4- cos a% cos |3t + cos as cos /3i &= o, -,

et| en ajoutant les équations des plans tangents après les avoir élevées au carré, on trouve

Donc le point d'intersection des plans décrit une sphère ayant pour rayon |/o' -f-6* + c*.

Ift9. Normale. La normale au point (x'y'z') de l'ellipsoïde est représentée par les équations (N® 167)

ou bien,

Proposons-nous de déterminer le nombre de normales que Ton peut mener & la surface par un point de l'espace (a, |3, y). Les coordonnées x% y', z' du pied de Tune de ces normales satisfont aux équations

Soit ik la valeur commune des rapports précédents; en égalant chacun

d'eux à kj et résolvant les égalités ainsi obtenues par rapport aux coordonnées, on trouve

Substituons ces valeurs dans Téquation de Tellipsoîde; il viendra

ou bien

(jfc + a«)« (it + 6«)« (A + c»)« — a«a« (* + 6«)« (*+ c«)« — 6«(3« (ft + a»)« (A + c«)» — cy {k + fl«)' (* + 6*)* = o.

Cette équation est du sixième degré en k\ elle admet toujours deux racines réelles, car si on remplace k par les quantités — oo, — a', -|« 00 dans le premier membre, on trouve^ pour les signes des résultats, +, —, +.

Transportons Torigine au point (a, (3, y) et appelons Ç, >], ( les nouvelles coordonnées; les égalités (e) deviennent

On en tire

tt' 6* c*

et, en chassant les dénominateurs,

(6« - c») >]Ç = c«pç — ô^yyi,

Multiplions-les respectivement par «, (3, y et faisons leur somme. On aura

a (6» — c«) yjÇ + (3 (c» — a») ÇÇ -{- y (a> — 6«) Çn = o :

équation homogène du second degré qui représente un cône passant par les normales issues du point (a, (3, y). Ainsi, for un point iê

Feipatey on peut mener en général six normales à une surface du second ordre dont deux sont toujours réelles, et ces normales sont sur un même cône du second ordre (Ghasles).

Si on remplace Ç, >} et ( par x — a, y — 13, z — y on vërifie facilement que ce cône passe par Torigine. D'un autre côte les trois rapports égaux (e) conduisent aux relations

yz (6* — c*) = 6*Pz — c'yy,

xz (c* — a*)=a c'yx — a*a«,

xy (a* — 6*) =» o'oy — 6*/3x.

En multipliant respectivement par a'a, 6'|3, c*y, et ajoutant, on trouve

a«a (6« — c«) yz + 6»,3 (c« — o«) zx + c'y (o« — 6«) xy = o :

c'est un second cdne qui a son sommet à l'origine et qui passe par les pieds des normales. Il passe aussi par le point (a, |3, y). Les deux cAnes ont donc une arête commune; leur intersection se composera de celte droite et d'une courbe du troisième ordre puisque l'intersection de deux surfaces du second degré est une courbe du quatrième ordre. Les pieds des six normales appartiennent a cette cubique gauche.

ISS. Plan diamétral et diamètre. Le plan diamétral conjugué du diamètre (7., |ui, v) aura pour équation (N"* i 55)

)x , ut/ I yz

Si on désigne par x\ y\ z' les coordonnées du point oà la direction (>y |uc, v) rencontre la surfacci on a les relations

——yl—^

A fA V et l'équation précédente devient

Donc, le plan diamétral conjugué d*un diamètre qui passe par un point {x'y'z') est parallèle au plan tangent en ce point d la surface.

Lorsque le point {x' y' z') est dans le plan des rry, on a ^'s^o, et rëquation précédente devient

xx' , vv'

elle représente un plan passant par Taxe des z. En général, le plan diamétral conjugué d'un diamètre situé dans un plan principal ren* ferme Vaxe de la surface perpendiculaire à ce plan.

Si on représente par d' le demi-diamètre qui passe par le point (a;', y', z'), on aura

x' = d'cosa', y'=»rf'cosP', JE' = d'co8/,

^% (3% y' étant les angles du diamètre avec les axes. Par la substitution de ces valeurs dans Tcquation de rellipsoïde, on arrive h l'expression

I cos*a' j^ cos'jS' j^ cos^y' ¥*^'^ ' b^ * 6^'

Supposons que l'on mène par le centre trois demi-diamètres d\ d"y d'" perpendiculaires; en ajoutant Téquation précédente aux deux suivantes :

I ^cos* a" i^cos'jS" j^cos* y"

I cos*a'" j^cos* jS"' j^cos*/"

on obtient

Ainsi, la somme des carrés des inverses de trois diamètres rectanguloir es est constante.

1S4. Diamètres conjugués. Soient 2a', 26', 2c' les longueurs de trois diamètres conjugués de rellipsoïde et (x'y'z'). (x'Yz'% (x"y"z'") les points où ils rencontrent la surface. Si on exprime que le plan diamétral conjugué du premier

xx' . vv' • zz'

renferme les deux antres, on arrive aux relations

arx" , yy" , z'z

r+-iS"+^T-=o»

De même, le plan diamétral conjugué du second diamètre et représenté par Téquation

passe par le troisième, et on aura aussi

x'V" y"y'" «"ij"'

Avec les coordonnées angulaires, les trois équations précédentes, qui expriment que les diamètres sont conjugués, deviendraient

COS a' C08 /" + COS jUt' C08 p" -|" C08 v' CCS v" = O, COS À' COS À'" + COS fx' COS fJl'" + COS V' COS v'" = o,

COS A" COS A'" -j- COS |ul" COS fx'" -|- COS v" COS v'" = o;

de sorte que les directions (A, |ui, v) qui correspondent aux extrémités de trois diamètres conjugués sont perpendiculaires entre elles, et Ton aura aussi les égalités

COS" A' + COS* fJt' -|- COS* v' =3 I,

ces* A" + COS* II" -j- COS* v" = i,

COS* A'" + COS* fz'" + COS* v'" =. I,

ainsi que les relations inverses cos* A'-|-cos* A^ + cos* A"'« i, etc. qui sont toujours vérifiées par les cosinus directeurs de trois droites perpendiculaires issues de Torigine.

f§5. Équation de l'ellipsoide rapporté d trois diamètres conjuguée. Nous avons vu (N* 159) que la surface rapportée à trois diamètres conjugués est représentée par une équation de la forme

Lx* + My* + Nz*=H,

ou biea,

L M N Hais, si a', 6', e' sont les longueurs des demi-diamètres, on a

et réquation précédente peut s'écrire

Comme il y a une infinité de diamètres conjuguési il y aura une infinité d*axes obliques pour lesquels Téquation de relilpsoïde peut se ramènera la forme précédente. Le plan x^=^a! est parallèle & yz, et sera le plan tangent & la surface i l'extrémité du diamètre aa'; il rencontre l'ellipsoïde suivant deux droites imaginaires ayant pour équations

Puisque le diamètre 2a' peut passer par un point quelconque de la surfacCi on voit que le plan tangent d Pellipscïde rencontre toujours la surface suivant deux droites imaginaires.

tM. La somme des carrés de trois diamètres conjugués est constante et égale d la somme des carrés des axes. En e£Fet| si on ajoute membre à membre les égalités

o'* == o* cos* /' -j- 6* cos* fx' -|- c* cos* v', 6'» =. a« co8« A" + 6« cos« fx" + c« cos« v",

C'* = 0« COS« A'" + 6* C08« fx'" + c« cos« v"S

il viendra

a'« -j- 6'» + c'« = a* + 6* + c% car, les directions (A, fx, v) sont rectangulaires.

l§T. Le volume du parallélipipède construit sur trois diamètres conjugués est constant et égal au parallélipipède construis sur les axes.

En effet, le parallélipipède construit sur a'fi\ff est égal i six fois le volume de la pyramide triangulaire formée avec ces demi-diamètres. On aura donc (N"* 39) pour le volume du parallélipipède

cos X' cos fx'

cosv'

cos A" cos ^"

cos v"

cos X'" cos fx'"

cos v'"

Mais on sait que ce dernier déterminant, en tenant compte des relations qui existent entre les quantités A, /x, v, a pour valeur l'unité (NM4);donc V=aa6c.

1S§. Diamètres conjugués égaux. Pour qu'un système de trois diamètres de Tellipsoîde soient conjugués et égaux, on doit avoir les relations

a* cos* A' -j- 6* cos a' + c' cos* v' = a* eos' A" -|- 6* cos* ^jl" -^6* cos* v"

= a* cos* A'" + 6* cos* fx"' + c* cos* v'".

On a ainsi huit équations entre neuf inconnues; par suite, il existe une infinité de diamètres conjugués égaux. Soit a' la longueur de Tun d'eux; on aura 3a'* =s a* -^ &' + c*, et, par conséquent, les extrémités des diamètres conjugués égaux se trouvent sur Tintersection de l'ellipsoïde avec la sphère représentée par l'équation

189. Trouver les aaces d^une section centrcUe. Considérons un plan mené par le centre et qui rencontre la surface suivant une ellipse dont nous désignerons les axes par ap et 29. Soit 2c' le diamètre perpendiculaire au plan sécant; les demi-diamètres p, 9, c' étant rectangulaires, on aura

— 28ÎJ — Mais a, (3, y étant les angles du diamètre 2c' avec les axes, on a aussi

I cos* a j^ cos* P 1^ cos' y

Par la combinaison de ces égalités, il viendra

1,1 ^1^1^ /cos* a , cos* |3 . cos* y\

ou bien,

I j^ I sin* CL I sin* 6 | sin* y

Menons un plan tangent parallèle au plan de la section; soit P la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent et c'' le demidiamètre du point de contact. Le parallélipipède construit sur les diamètres conjugués f>, f , t!* a pour mesure Ppj; par suite,

Pp9s=a6c; d'où

I cos* a j^ cos' j3 j, cos* y

Diaprés les relations précédentes, les carrés des axes de la section centrale seront les racines de Téqualion

I I /sin'g , sin*|3 . sin* y\ , cos* « , cos*/3 , cos*; p*~p'\""â* *"~6«" "* c*~y »""6V' •"'^^ '"lï'ô*

Elle peut encore se mettre sous une autre forme; en chassant d'abord les dénominateurs, il viendra

p* (a* cos" a -|- 6* cos* j3 + c* cos* y) — p* [6*c' (i — cos* a)

+ o*c* (i — cos* /5) 4- o*6* (i — cos* y)] + o*6*c* = o,

ou bien,

p* (a*cos* a-j-6*cos* jS+c* cos* y)+p* (6'c*cos* a+o*c*cos*P-["^*'^* cos*y)

+ [a«6«c* — p* (6'c* + o*c* + a*6*)]{cos* a + cos* (34- cos* y) ==. o.

En réunissant les termes qui multiplient respectivement cos* a, cos* ^, cos* y^ réquation précédente peut s'écrire

cos« a [ay — ay (6* + c«) + a'^^c*] + cos« (3 [6y — hy (a« + c«) + a*6*c*] + cos« y [c>* — cy (o* + 6«) + a*6«c«] = o, ou

a» cos* a (p« — 6«) (p« — c*) + 6« cos» p (p« — a«) (p« — c*) -|- c* cos* y (p* — o') (p* — 6*) = o.

Si on divise par le produit (p* — o') (p* — 6«) (p« — c'), on aura finalement

q} ces* a j^ 6' cos" P 1^ c' cos* y p* - tt* ' o» - 6* "^ û« — c«

Le même problème peut se résoudre d'une manière plus directe et plus élégante comme nous allons l'indiquer. Désignons par H (a/, /, z*) l'extrémité de l'un des axes de la section^ par cosa% cos/3', cos/ les cosinus directeurs de la tangente en M à cette courbe, et par p la longueur OM, 0 étant le centre de la surface. Le tangente est perpendiculaire à 0M| au diamètre ac' et à la normale en M à rellipsoîde ; par suite, on a les relations

x' cos a' + y' cos P' -|" *' ^®* Y =* o> cos a cos cf,' -|- cos j3 cos P' + cos y cos y' = o, x' cos a' j^y cos p' , z' cos y'

L'élimination des cosinus de la tangente donne, en supprimant les accents,

cos a cos |3 cos y

OU bien

o« COS a (6» — c*) y« 4- 6* cos (3 (c* — a*) «x + c* cos y (a* — 6*) xy = o. C'est l'équation d'un cdne qui passe par les sommets des axes de la

section; il a pour génératrices les axes de la surrace, puisqu'en égalant & zéro deux coordonnées l'équation est satisfaite; de plus, on vérifie facilement que le diamètre 2c' ainsi que le diamètre conjugué du plan sécant sont des arêtes du cône. Celui-ci est complètement déterminé par cinq génératrices; les directions des axes seront les droites d'intersection de ce cAne avec le plan sécant* Cela étant, on a :

En divisant par p* et retranchant ensuite cette équation de la suivante :

on trouve, en supprimant les accents,

"a-?)+KH)+<^-?)

c'est l'équation d'un c6ne qui a son sommet à l'origine et qui passe par le point M. Le plan tangent en ce point est défini par

Ce plan passe par Torigine et aussi par la tangente MT, comme on le vérifie facilement; il coïncide donc avec ]e plan sécant représenté par l'équation

a? cos a + y cos (3-{- z cos y = o. En identifiant les deux équations, on trouve

a' cos a 6' cos P c' cos 7

et comme on a : x' cos a +y cos /3 -f- z' cos y = o, il vient

o*cos*« , 6*cos'8 , c'cos*y

c'est l'équation trouvée précédemment.

% 2. HYPERBOLOÎDB A UNE NAPPE.

!••• L*équatioii

(i) Lx« + My» + N«« = H

définit une surface appelée hyperboloîde & une nappe, si Tun des coefficients du premier membre est négatif. Supposons que la constante N soit affectée du signe — ; nous aurons à considérer Inéquation

(2) Lx« + My» — N«« = H.

La surface rencontre les axes rectangulaires aux points dont les coordonnées seront :

yaO, ««SO, «=a± W - ;

x = o, y = o, «=±Y^-^; ce qui montre qu'elle ne rencontre pas l'axe des z. Posons

les quantités 2a, 26 seront les longueurs des axes réels de la surface ; on regarde aussi 2c comme étant celle de Taxe imaginaire. Par Tintroduction de a, 6, c dans l'équation (2), on trouve que Thyperboloîde à une nappe rapporté à son centre et à ses axes est représenté par réquation

Il en résulte que les sectioas principales seront définies par des ëqnatioas de la forme

Si A et A', B et B' (Fig. 26) désignent les points de rencontre de la aarfuse avec les axes, la section dans le plan des xy est une ellipse qui renferme ces pointa; elle s'appelle tllipie de gorge; les deux autres sections sont des hyperboles, la première ayant pour ase réel aa = AA', la seconde 26— =BB'.

têt. Seetiont planet. Cherchons d'abord la nature des intersections de la surface par un plan parallèle il xy. Vu plan zm=y rencontre fîi.w.

l'hyperboloïde suiraot une courbe déterminée par les équaUons

L'intersection sera toujours une ellipse réelle quel soit y, positif ou négatif; elle augmente indéfiniment à mesure que le plan sécant s'éloigne de l'origine.

tin plan y^^, parallèle k xt, coupe la surface suivant une courbe dont la projection sur xz est représentée par

a* c* fc'

C'est une hyperbole dont l'axe réel est parallèle aux x aussi longtemps que |3<6; elle se réduit à deux droites, si P = 6; l'axe réel de la eourbo devient parallèle aux s, si ^ ^ 6.

On verrait de même que la section faite par un plan x &» a, parallèle à yZj est une hyperbole dont Taxe réel est parallèle aux y, si le plan sécant se trouve entre le centre et les sommets A et A' de la surface, et parallèle aux z, si le plan sécant est à une distance plus grande que a de rorigine.

Enfin, considérons l'intersection de l'hyperboloïde par un plan quelconque

z = mx-{-ny +p, La projection de la section sur le plan des xy aura pour équation

en développpanty le bindme caractéristique B' — AG se présente sous la forme

Phyperboloïde peut être rencontré par un plan suivant Tune des trois coniques: une ellipse, si a'm'4" 6*n' <[c*; une hyperbole, si a*m* + 6*n*> c'; une parabole^ si a*m*-\-b*n* ^= c*. On satisfait à cette dernière condition, en posant

fH =» - cos (p, n=T sin 9,

9 étant un coefficient indéterminé ; il en résulte que tout plan parallèle à celui qui est représenté par Téquation

ex . cy .

J2 e=î — cos 9 -4- -^ sin 9, a b

- ==- cos 9 +7-sin 9,

rencontrera la surface suivant une parabole.

19%. Sections circulaires. On démontre, comme on l'a fait pour rcllipsoïde, que les plans cycliques de rhyperboloide s^bliennent

— 26! — en exprimant que le cane

se réduit h deux plans. Posons successivement r* = a\ r^ e=s 6*, r* =s — c*; il viendra pour les plans des sections circulaires

'•(i+^)+Kr.+^)=°-

Supposons a'>6*>c*; les deux dernières équations représentent des plans imaginaires; la première peut se ramener à la forme

et définit deux plans réels parallèles i Taxe des oc.

Ainsi rhyperbolotde d une nappe admet deux systèmes de plans cycliques parallèles au plus grand des deux axes réels,

IM. Cône asymptote. Lorsque le coefficient H est nul, Péquation (2) devient homogène par rapport au\ coordonnées et se réduit à

OU bien,

Elle représente une surface conique réelle qui entoure Taxe imaginaire de l'hyperboloïde défini par Téquation, lorsque H est différent de zéro; car tout plan z^=y^ parallèle à xy^ rencontre la surface suivant Tellipse

qui est toi^ours réelle et qui augmente indéfiniment avec y. De plus,

nous allons montrer que la distance entre Thyperboloîde et le cAne diminue de plus en plus à mesure qu'on s'éloigne sur la surface. Soient M (x, y, z), N (x, y, 2;) deux points situés sur une parallèle aux Zj le premier appartenant à Thyperboloïde, le second au cAne, On aura

et, en retranchant membre à membre.

-z — =s I ; d ou Ç — X =

Lorsque z augmente indéfiniment, la différence Z — ^ diminue de plus en plus et devient nulle k la limite pour z-boo; ce qui montre que les deux surfaces se rapprochent indéfiniment pour se toucher à l'infini. Cette propriété particulière du cône représenté par l'équation (4) lui a fait donner le nom du cône asymptote.

Le cAne asymptote doit être regardé comme un cane circonscrit i rhyperboloïde ayant son sommet à l'origine, et dont la courbe de contact est dans le plan à l'infini. C'est ce qui résulte d'ailleurs des équations

Lx» + My« — Nz» = H. Lx» + My« — 1V«« = o;

en les retranchant membre à membre, il yient l'équation H ss o 4'up plan à l'infini.

Enfin, les coeflBcients des variables étant les mêmes dans les équations du cône et de rhyperboloïde, les intersections des deux surfaces par un plan quelconque seront des courbas semblables et c^pcieolriques. Donc, un plan qui coupe toutes les arêtes d^une même nappe du cône, rencontrera rhyperboloïde suivant une ellipse; un plan qui coupe les deux nappes du cône, suivant une hyperbole; un plan parallèle k un plan tangent au cône, suivant une parabole.

1#4. La discussion précédente nous apprend que le genre hyper- )>oloïde k voe nappe comprend toutes les surface 4u second ordre k

deux axes réels, illimitées dans tous les sens et resserrées vers leur milieu dans le ? oisinage de l'ellipse de gorge. Il est évident» d'après les observations qui précèdent^ que les équations

ou bien,

définissent la même surfacei seulement l'axe imaginaire de la première est dirigé suivant Taxe des y, et celui de la seconde suivant l'axe des x. Lorsque l'un des coeflBcients du premier membre est nul dans l'équalion (2), il vient

on bien,

rhyperboloide se réduit à un cylindre elliptique ou hyperbolique.

Si M s=s N s= o, on a Lx* = H, ou deux plans parallèles.

Enfin, lorsque les coefficients L et M sont égaux, l'équation de la surface devient

ou bien,

et tout plan perpendiculaire à l'axe des z coupera la surface suivant un cercle; Thyperboloïde est de révolution autour de cet axe.

Ainsi le genre byperboloïde à une nappe comprend comme variétés, rhyperboloîde de révolution, le cAne, le cylindre elliptique et hyperbolique, deux plans parallèles.

195. Ginératrices reetilignes. L'hyperboloïde k une nappe peut contenir une droite dans toute son étendue, car nous avons constaté qu'un plan parallèle à xzy mené à l'extrémité de l'axe 26, coupe la surface suivant deux droites réelles. Nous allons démontrer l'existence de deux

systèmes de droites entièrement contenues dans la surface. On les appelle génératrices reelilignes de l'hyperboloïde, parce qu'elles servent à Tengeudrer par le mouvement d'une ligne droite. Soient

les équations d'une droite. Pour qu'elle soit entièrement eontenoe dans la surface

il faut que l'équation

(mz + p)' {nz + qy z»

soit satisfaite quel que soit z; par suite, les paramètres doivent vérifier les relations

m* , fi* I mp , nq p* , a*

La dernière équation montre que la trace de la droite sur xy doit se trouver sur Tellipse de gorge; la seconde nous donne les égalités

déduit

On en

oe ae

abc

Ainsi, p et 9 étant les coordonnées d'un point de l'ellipse de gorge, ces valeurs indiquent qu'il existe deux systèmes de génératrices, et seulement deux, dont les équations seront de la forme

/ X oq àp .

Si on désigne par 9 un angle auxillairei on peut poser, pour les coordonnées d'un point quelconque de l'ellipse de gorge,

p = a cos 9y 9 =s 6 sin 9 ;

et les équations des génératrices rectilignes peuvent se mettre sous la forme

(2) -=B-sin 9 -1-^08 9, ^= cos9-|-8in9;

- = sin 0 + cos 9, 7 == - cos 9 + sin 9.

On vérifie à posteriori que ces droites sont sur Thyperboloïde; car en élevant les équations (2) ou (2') au carré, et en les ajoutant membre à membre, on retrouve l'équation de la surface. L'équation de rhyperboloïde conduit encore à une nouvelle forme des équations des génératrices. En effet, on en tire

ou bien,

e+OG-7)=o+i)(-!)

Posons les deux systèmes d'équations

A et p étant deux paramètres arbitraires, elles définissent deux systèmes de droites situées sur l'hyperboloïde ; car en multipliant les égalités (3) ou (3') membre à membre, on reproduit l'équation de la surface. Si on écrit

— Môles équations précédentes peurent encore se mettre sous la forme abrégée

(4) « — Ap = o, y-t=o;

(4') a — f*^ = o, y — Eco; et réquation de la surface est alors ay^^pi.

flM. Par chaque point de VkypnhoMde^ Upasêe une ginérairice de chaque m/etème et une eeule.

Soient (xiyiici) un point de la surface, et 04, |3i, yi, di, les yaleurs correspondantes des polynAmes a, |3, j^, d. On aura, pour déterminer A et f^9 les équations

ai — /pi — o, yi— -î- = o, ai— /x^i««o, yi =0,

avec la condition «lyi sa jSidi ou «^ =-^* On en déduit

' Pi yi

^ «« -j d| ai j3i

Pi y* oi y*

mais, d'après Téquation de la surface, les deux valeurs de A ainsi que les deux valeurs de |x coïncident; il 7 aura une droite de chaque système et une seule qui passe par le point donné.

197. Deux giniratrices d'un même système ne se rencontrent pas. Considérons deux droites du premier système

a — /ip — o, y — r- = o,

qui correspondent à deux valeurs distinctes du paramètre A. Si on retranche membre k membre les équations, il vient

Ces équations ne peuvent subsister en même temps à moins que |3 es ^ = o, ce qui est impossible.

1M. Deux génératrkeê de sytHème différent eeni dans un mtmeplan. L'équation

OÙ k est un coeflScient indéterminé, représente un plan quelconque mené par une droite du premier système. Exprimons qu'il passe par là droite (4') : en éliminant a et y^ il vient

Hais, si la seconde droite est dans un même plan avec la première, cette équation doit être satisfaite quels que soient |3 et d; ce qui a lieu si A SS3 AfX. Donc le plan représenté par Téquation

renferme les génératrices de système différent, l'équation précédente en Xf y, z, peut se ramener à la forme

Lorsque les génératrices différentes ont des équations de la forme

^ 8sa . sin 9 + cos 9, ^ = cos ç + sin ç,

on trouve, en exprimant que le plan

( sîn 9 — cos 9 ) -j- fc ( ^ -j- - cos <p — sin 9 j = o

passe par la seconde droite,

. sîn - (9 + 9')

, sm 9-}-sin 9' 2 ^ ' ^

^ ' ^ cos - (9 4- <p')

L'ëquation da plan des génératrices est alors

Îco8^(9 + 90+|sin^(? + (p0+^8ini(ç'-«ç) = cosi(9'— 9).

!••• Générairiees parallèles. Pour que deux génératrices de système différent

- = - sin (D + cos Q), i =s— - cos 9 + sin q>, a e ^ * ^ a c ^ ' ^'

-« sin 9' + cos 9^ î = " ^^^ ¥ + ®*^ 9'

Cv c oc

soient parallèles^ on doit avoir sin 9=» — sin 9^ cos9e=> — COS9'; par suite, 9' = 9 + 180^; d'où 9' — 9 &a 180% et l'équation du plan de deux génératrices parallèles sera

- sin 9 — f cos 9 := o.

Ainsi, les génératrices parallèles sont dans un plan passant par le centre de la surface.