Génératrices perpendiculaires» Les deux droites

-=-sin9 + eos 9, 7 = cos 9 + sin <p,

- aas sin 9' + cos 9', f =- cos 9' + sin 9',

sont perpendiculaires avec la condition

(a) a* sin 9 sin 9' -[- ^* cos 9 cos 9^ — c* a= o.

Mais, les équations des génératrices donnent les égalités

l cos 9 j =— sin* 9, ( cos 9' I = -^-sin 9';

de sorte que cos 9 et cos 9' sont les racines de l'équation du second degré

(X \« ir»

- — COS9J =-,(i— cos«9),

ou cos q> dësigae rinconnue. Oa trouve facilemeaty pour le produit des racines, l'expression

cos © • cos ©' = •

De même, sin f et sin 9' seront les racines de l'équation

r|— sinçj =^(1 — 8in«9);

d*où Ton déduit

sin 9 • sin 9' = •

Substituons ces valeurs dans la relation (a) ; il viendra

ou bien

oV , 6'a;* , , , ,,^/x* . y* \ . , . -f+^-(«' + t*)(„-i+|i-i) = c' + ^*.

En effectuant les réductions, on obtient finalement

Donc, les points de Thyperboloïde où les génératrices se coupent à angle droit appartiennent à la ligne d'intersection des surfaces

901 . Les projections des génératrices sur le flm des xy sont tangentes à Fellipse de gorge*

£n effet, si on élimine la variable z entre les équations

-. =: - sin <p + cos 9, f = — - cos 9 + sin 9 a c ^ b ç

où trouve

l cos 9 ) cos 9 4" ( L — sin 9 1 sîn 9 = o,

-C08 9+f 8in9s=i :

équation qui représente une tangente à l'ellipse

sot. Le lieu des droites menées par le centre parallèlement aux génératrices est le cône asymptote.

Une droite menée par l'origine parallèlement à la génératrice

est définie par les équations

On en déduit

aq bp

bc ^ ^ ac

aey bcx

P bz' ' = «'

en substituant ces valeurs dans la relation

il viendra pour le lieu cherché, Téquation

qui représente le cAne asymptote.

CoROLUÎBE. TVoîa génératrices d^un même système ne sont jamais parallèles à un même plan; car si ce parallélisme existait, les trois arêtes du cdne asymptote parallèles aux génératrices seraient dans un même plan, ce qui est impossible.

tM. Le produit des êinus des angles d'une gMnftriee quelconque avec les plans cycliques est constant.

Si a > 6, les plans cycliques sont détermibés par l'équation

Hh~)-"(j-H)-

Considérons une arête du cdne asymptote passant par un point H de cette surface; elle sera parallèle à une certaine génératrice de Thyperboloîde. Abaissons du point M les perpendiculaires HP, HP' sur les plans cycliques. Les coordonnées du point H vérifient l'équation

qu'on peut mettre sous la forme

le premier membre est alors égal à celui de Téquation des plans cycliques, et si on divise par l'expression

il devient égal au produit MP«MP'; par suite, l'équation précédente peut s'écrire

OH est la distance du point M au centre de la surfaee. Cela étant, soient a et a' les angles de l'arrête OM avec les plans cycliques; on aura MP =3 OM sin a, MP' = OM sin a\ En substituant, il vient finalement

sin asin a' = ;

ce qui démontre la proposition.

S04. Génération rectiligne de Vhyperboloïde. Le mouvement d'une droite dans l'espace est complètement déterminé, si elle est assujettie

& s'appuyer sur trois droites fixes dou situées deux & deux dans un mâme plan; car prenons uq point H sur la première et menous par ce point deux plans, l'un passant psr la seconde droite, l'autre par k troisième; ces plans sont déterminés, et leur intersection sera la droite unique qui jouit de la propriété de passer par le potnl H de la première droite et de rencontrer les deux autres. Par chaque point de U première droite fixe, on pourra toujours mener une droite semblable, de sorte que le lieu des différentes positions de la droite mobile sera une surrace unique et bien déterminée.

Il résulte des propriélés des génératrices, qu'une droite de chaque système rencontre toutes les droites de l'autre ; donc, si on prend trois génératrices du premier système, et si on fait mouvoir une droite qui s'appnie constamment sur ces génératrices, on engendrera Thyperboloide; car il ne peut exister deux droites distinctes qui rencontrent les génératrices aux trois mêmes points ; la droite mobile doit reproduire par son déplacement toutes les droites du second système. On peut démontrer directement que toute surface engendrée par U mouvement d'une droUe, fui s'appuie constamment sur trois droites non parallèles à vn même plan ni sUuées deux à deux dans un plan, ut un hyperboloîde d une nappe.

Afin de simplifier la démonstration de ce

théorème, menons par chaque droite donnée

deux plans respectiTcmenl parallèles aux deux

autres de manière à former un parallélipipède;

plaçons l'origine au centre 0, et prenons, pour

'' les axes des coordonnées, des droites parallèles

aux arêtes. Si on désigne par 2a, zb, 2c les longueurs des arêtes, les

équations des droites fixes D„ Di, Di seront

On peut regarder la ligne mobile comme étant l'intersection de deux plans, l'un passant par la droite Di, l'autre par la droite Dt; les équations de ces plans peuvent s'écrire sous la forme z c — X(y + t) = o, Z'\-c — fi (x — a) ^ o.

Il faut maintenant exprimer que cette ligne rencontre la droite Ds. Or, si on retranche les équations précédentes membre à membre, il vient

2C — fjL{x — a) "1- A (y -}- 6) = o ;

par soite, d*après les égalités (Ds), on aura, pour la condition de reneontre avec Ds, Téquatidn

z —— c z ^— c Si on remplace A et f* par leurs vaileurs — —7 > — - — 1 on

trouvCi après les réductions,

ayz-\-bzX'{-cxy'\'abe'=Of ou bien, ^-| h ^4" 1=0.

Cette équation étant satisfaite par les coordonnées d'un point quelconque de la ligne mobile pendant son déplacement représente la surface engendrée; elle est du second degré, et donne lieu à l'équation en S

qui admet deux racines négatives et une racine positive. Donc la surface rapportée à ses axes sera de la forme /x* -|- my' — nz* = abc après avoir changé le signe des deux membres; c'est un hyperboloïde à une nappe.

Pour démontrer le théorème sans faire aucune hypothèse sur les axes des coordonnées, considérons deux droites non situées dans un même plan et définies par les équations

(Di) a = o, P = o; (D,) y=.o, 3 = 0;

âc, ^, y^ 3 sont des fonctions du premier degré en x, y, z. Les équations de la troisième droite D5 peuvent s'écrire

^■^V m(3 + yy + s* = o.

Une droite qui rencontre les deux premières est représentée par des équations de la forme

a — Àl3 = o, y — |t«') = o.

Bxpriindiis qu'elle reacoatre la droite D» ; oq aura

/X(3 -|- n^6 -}- pi = o, m|3 -|- qijii + « J = o ;

d'où

Eq éliminant les paramètres A et /x, on trouvera, pour l'équation de la surface décrite par la ligne mobile,

m(3 (ny+p3) = la {qy -|- «i).

906. Génération de Vhyperholoïde par deux faisceaux homograpkiqves. Si la surface est représentée par Féquation a.y=>^y une génératrice du premier système est définie par

a — A(3 = o, i — Ay = o.

Ces équations prises isolément représentent deux faisceaux homographiques, l'un ayant pour aréle la droite

l'autre la droite d = Oy y=so. De là cette propriété : Si, par deux droites fixes, on mène des plans passant par les génératrices d'un même système de rhyperboloîde, on obtient deux faisceaux homographiques.

Réciproquement, dans deux faisceaux homographiques ayant pour arêtes des droites quelconques, les plans correspondants se coupent suivant les génératrices d'un hyperboloîde. En effet, soient

deux droites fixes; les faisceaux homographiques qui ont ces droites pour arêtes sont définis par les équations

a — >|3 =a o, s — kly =^ o,

où k est une constante et A un paramètre arbitraire. En éliminant A, oa trouve l'équation

qui représente une surface, lieu des droites d'intersection des plans correspondants des deux faisceaux; c'est un hyberboloïdo à une nappe.

900. Plan tangent; normale. Le plan tangent en un point (x'^V) de rhyperboloïde

aura pour équation

Si on la compare avec l'égalité

X C08 a -|-y cos (3 + z cos 7 =3 P, on trouTC les relations

cos

d*oà

a x' cos (3 y' cos y z\

7î' p m' p iT»

a* cos* a -|- 6* cos' (3 — c*cos*y x'^^^y'* z'*

par suite, la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent aura pour expression

p« aa a" cos* a + 6* cos* /3 — c* cos* y. Les équations de la normale seront de la forme

On démontre, comme on Ta . fait pour reUipsoïde, les théorèmes suivants :

i^ La somme des perpendiculaires abaissées du centre sur trois plans tangents rectangulaires est constante.

2* Le lieu du sommet d'un trièdre trirectangle circonscrit d l'hyper^ boUnde est la sphère représentée par f équation

3"* Par un point donnée on peut en général mener six normales à la surface et ces droites sont sur un même cône du second ordre.

SOT. Plan diamétral. L'équation du plan diamétral conjugué dMn

diamètre (k, fJi» v) de l'hyperboloïde

est de la forme

ou bien.

^9 y'i ^' étant les coordonnées de Textrémité du diamètre.

Lorsque la direction (A, |tji, v) est intérieure au cAne asymptote, les cordes parallèles rencontrent les deux nappes de cette surface; par suite, le plan diamétral coupera le c6ne en un point et l'hyperboloïde suivant une ellipse, puisque les intersections sont des courbes semblables. Si la droite (À, |x, v) appartient au cAne asymptote, le plan diamétral devient tangent au cAne, comme l'indique la seconde équation. EnGn, lorsque le diamètre (X, |x, v) est en dehors du cône asymptote, les cordes rencontrent une même nappe en deux points; le pian diamétral coupera le cdne suivant deux droites, et l'hyperboloïde suivant une hyperbole.

90§. Diamètres conjugués. Si on rapporte l'hyperboloïde à une nappe à trois diamètres conjugués, son équation est de la forme

Laf«+My* — Nz« =H; ou bien,

Posons

-■-^vl' ''-^v/I- "■=*\/1'

l'équation précédente deviendra

2tt', 2b', 2c' sont les longueurs des diamètres.

Lorsque le plan a'b' rencontre la surface suivant une ellipse, le diamètre conjugué de ce plan est intérieur au cAne asymptote, tandis que si la section du plan a'b' est une hyperbole, le troisième diamètre sera en dehors du cAne. Donc, parmi les trois diamètres conjugués, il y en a toujours un qui ne rencontre pas rhyperboloîde.

Si, par l'extrémité du diamètre réel a', on mène un plan parallèle à celui des deux autres diamètres, il sera tangent à la surface et rencontrera celle-ci suivant deux droites réelles représentées par les équations

Ainsi, le plan tangent à Fhyperboloïde d une nappe rencontre la eurface suivant deux droites réelles; ce sont les génératrices qui passent par le point de contact. Les plans tangents aux différents points d*unc même génératrice renferment tous cette droite; mais ils seront distincts les uns des autres, car ils doivent passer chacun par une génératrice différente de l'autre système.

900. Relations entre les longueurs des diamètres conjugués. Soient 2a', 26', 2c/ trois diamètres conjugués. Supposons que le plan a'V rencontre la surface suivant une ellipse; il coupera aussi le plan desrcy suivant un diamètre que nous appellerons a. Si (3 est le diamètre conjugué de a dans Tellipse d'intersection, on aura a"-|-6'* = a'-]-|5*; par suite o'* -j- 6'* — c" = a' -{- j3' — c'*. D'un autre cété, désignons par y le diamètre conjugué de a dans l'ellipse de gorge; le plan diamétral conjugué de la droite a, intersection des plans ab et a'b' rencontrera la surface suivant une hyperbole et renfermera les diamètres y, c\ c, P; y et c ainsi que c' et |3 étant conjugués dans la section, on aura la relation y* — c* = (3» — c'* ; par conséquent, «* + 7' — c* »= «■ + jS* — c'*. Enfin, en remarquant que a* + y* = a* + ^^'i "^ viendra

c'est la relation correspondante du N® i86.

De plus, en se rappelant que l'aire du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués d'une conique est constante, on aura successivement

vol. (a'fc'c') = vol. (a/3c') = vol. {ayc) = vol. {abc).

DoDCy le volume du parallélipipède construit sur trois diamètres conjugués de Vhyperholoide à une nappe est constant et égal au parais lélipipède construit sur les axes.

S S. HTPBRBOLOÏDB A DEUX NAPPES.

910. L'hyperboloîde à deux nappes est la surface représentée par l'équation

lorsque deux coefficients sont négatifs dans le premier membre. Soient M et N ces coefficients; en mettant leur signe en éyidence, nous aurons à considérer Féquation

■ La surface rencontre les axes aux points qui correspondent aux

égalités . ^r suite, elle rencontre Seulement l'axe des or. Posons

, réquation de rhyperboloide pourra se mettre sous la forme

oc* y* z^

2a est la longueur de l'axe réel; 26 et 2C celles des axes imaginaires.

Les sections principales sont déterminées par les équations

les deux premières représentent des hyperboles ayant pour axe réel 2a; la troisième définit une ellipse imaginaire.

SU. SeetioM planes. Un plan parallèle & yz rencontre la surface suiranl la courbe

e'eatnneellipBejmagiaaire aussi longtemps que «< a, et réelle si «> a; elle se réduit à nn point, si a s= a.

Les sections faites par des plans parallèles aux autres plans coordonnés auront des équations de la forme

elles représentent des hyperbolesdont l'axe réelest toujours parallèle anx x.

Enfin, soit x =^ tny -\- nz -\- p un plan quelconque ; il rencontre l'byperboloTde suirant une co* nique dont la projection sur yz est déterminée par (my+na+p)' S^ i* , o" 6« c'

En développant, on trouve fij. is.

que le binâme B* — AC a pour expression

L'intersection peut être Tune des trois coniques; une ellipse, si

6"m*+^'''* <^*î ""® hyperbole, si 6'iw*-|"<^*'**> ^î ^^^ parabole, si 6'm' -{- c'n' ss a'. On satisfait à cette dernière condition en posant

«=%.9, n^^sin,; il en résulte que tout phn p.ndlèle & celui

qui est défini par Tëquation

— s=^ cosŒ + -sin 9

donnera une section parabolique.

%t%. Seciionê eireulaires. Si on retranche membre à membre les équations

il Tient

qui représentera deux plans en posant successiyement r*=o*, r*= — 6*, r* =3 — c*; ce qui donne, pour les équations des plans cycliques,

Supposons 6>e; la seconde équation peut se ramener à la forme

et représente deux plans réels passant par l'axe des y; les autres plans cycliques sont imaginaires. Donc, Vhyperbolotde d deux nappes admet deux systèmes de plans cycliques parallèles au plus grand des axes imaginaires.

On trouyera aussi» comme dans Tellipsoïde, que les ombilics sont réels et déterminés par les coordonnées

91 S. Cône asymptote* Lorsque le coefficient H est nul dans l'équation de rhyperboloïde à deux nappes, on a Téquation homogène

Lx* — My« — Nz' = o, ou bien

elle représente un cône dont le sommet esta Torigine; tout plan perpendiculaire à l'axe des x le rencontre suivant une ellipse réelle

ce cAne est donc elliptique et entoure l'axe réel de la surface. De plus, il edt asymptote à l'hyperboloîde ; car si on considère deux points M (x, y, ti) N (^9 y> 0 des deux surfaces situés sur une parallèle à Taxe des z\ on aura

et, par soustraction^

- — = I ; d ou Ç — 2 =

Il s'ensuit que 2^ est plus grand que z, et que la différence 2^ — z tend vers o pour des valeurs croissantes de z : les deux surfaces se touchent i Tinfini, le cAne est asymptote à l'hyperboloîde.