Si on applique la discussion précédente aux équations

— Lx« + My« — N«* = H, - Lx* - Mj/« + Nz« =H, ou bien

on verra qu'elles représentent deux hyperbololdes à deux nappes dont Tun a pour axe réel 26, l'autre ac.

Lorsque Fun des coefficients est nul dans Lx^ — My* — Nz* = H, fl yient des équations de la forme

Lx« — Nz« = H, — My* — Nz« = H, ou bien

et rhyperboloïde se réduit à un cylindre hyperbolique réel ou & un cylindre elliptique imaginaire.

Si M = Ns=o^ il vient Téquation Lx* = H qui représente deux plans parallèles.

Enfin, si M SB N, on a l'équation

X* fi* 4- «• Li« M (y* -1- z«) = H ou __?LJll= r,

qui définit un hyperboloïde de révolution autour de Taxe des x^ car tout plan perpendiculaire & cet axe coupe la surface suivant nn cercle.

En résumé, le genre hyperboloïde & deux nappes comprend tontes les surfaces à centre à une aie réel, composées de deux parties illimitées laissant entre elles un espace vide; elles peuvent être coupées par un plan suivant Tune des trois coniques et admettent des sections circulaires parallèles au plus grand des axes imaginaires; elle sont toujours enveloppées par un cône elliptique qui leur est asymptote.

Ce genre renferme, comme variétés, Thyperboloide de révolution, le cône, le cylindre hyperbolique et deux plans parallèles.

t15. Plan tangent; normale. Le plan tangent en un point M {x'y'z') de rhyperboloïde & deux nappes est représenté par l'équation

xx' y y' zz'

En identifiant cette équation avec la suivante

a: cos a -j-y ^08 i^ + « cos 7 = P,

Ik 1 V ^AM

hiiies

cos a x'

cos j3 y' P 6«'

cos y «' P "* c»'

d*où on tire

P« s=3 a* cos* a — 6* cos* P — c* cos* y.

Les équations de la normale seront de la Corme

On démontrera, comme dans réllipsoîde, les théorèmes suîyaDts : i® La somme des carrés des perpendiculaires abaissées sur trois plans

tangents rectangulaires est constante et égal d a* — 6* — e*. 2* Le sommet iun trièdre trirectangle circonscrit d l'hyperboloïde

d deux nappes décrit la sphère x* +y* 4- «• = a* — ft' — c'.

nié. Plan diamétral. Ce plan a pour équation

hc [ly vz

ou bien

xjf yy' zz^

si la direction (A, p, v) rencontre la surface au point {x'y^z')\ il ne coupe jamais l'hyperboloîde suivant une ellipse réelle. En effet, si la droite (A, fji, v) menée par le centre est dans Tintérieur du cône asymptote, les cordes parallèles rencontrent les deux nappes de cette surface, et le plan diamétral qui passe par leurs milieux ne rencontre pas rhyperboloïde ; si la direction (A, fx, v) est en dehors du cône, les cordes parallèles traversent une même nappe de cette surface; le plan diamétral rencontrera le cône suivant deux droites et Thyperboloîde suivant une hyperbole; enfln, si la droite (A, /!x, v) appartient au cône, le plan diamétral devient tangent à cette surface.

91 T. Diamètres. L'hyperboloîde à deux nappes rapporté à trois diamètres conjugués 2a', 26', 2c^ est représenté par une équation de la forme

Parmi les trois diamètres, un seul rencontre la surface; c^est ce qui résulte d'ailleurs de cette observation, que le plan diamélral ne rencontre pas rhyperboloîde, si le diamètre conjugué le rencontre, et il donne pour section une hyperbole, lorsque le diamètre ne rencoptre pas la surface.

On voit aussi que le plan tangent « =» a' rencontre Thyperboloide a deux nappes suivant deux droites imaginaires.

Si on applique la démonstration du N" 209 à Thyperboloïde à deux nappes, on arrive aux théorèmes suivants :

i^ Les Oamètreê eofguguiê a\ 6', e' vérifieni la relation

2^ Le volume du parallélipipède constmit sur trois (Uamèttes conjuguis est constant et égal au parallélipipède construit sur les axes.