PARABOLOÏDE ELLIPTIQUE
SIO. Considérons d'abord l'équation
Mt/* + Nz* = 2Qx
où tous les coefficients sont positifs, et supposons que les axes des coordonnées soient rectangulaires; alors les plans des xy et des xz sont deux plans principaux de la surface, et ils se coupent suivant l'axe des x qui sera le seul axe du paraboloïde. Il est visible que le parabolo!de
— Î86 — passe par l'origiae, et que les sections faîtes par les plans coordoonés auront pour équations
x = o, liy*-\-tiz* =o, y = o, Nï' = 2Qx, z ^ o, Mt/' = 2Qx ; la première se réduit k un point, l'origine des axes, de sorte que la surface toudie en ce point le plan dcsyz; la seconde et la troisième son! des paraboles dont l'axe est dirigé suivant les X positiTs, Reprësenlons par 2<f et 2p les paramètres de ces courbes ; on aura
d'où
eu substituant, l'équition du paraboloide elliptique devient
SM. Sectiotu planes. Les sections parallèles au plan des yz sont elliptiques; car, pour un plan x = », la projection de l'intcrsectioD sur yjE est déterminée par l'équation
qui représsnte une ellipse réelle dont les axes augmentent indéfiniment, si a est positif; elle est imaginaire, si la quantité « est négative, et, par conséquent, la surface n'a aucun point situé k gaucbe du plan des yx.
Un plan parallèle k xy rencontre la surface suivant une parabole dont les équations seront
on voit que le paramètre de cette courbe est le même que celui de la parabole du plan des xy. Il est facile de constater qu'un plan parallèle à xz donne aussi pour section une parabole égale à la section principale de ce plan.
Enfin, soit z:=mx-f-ny-{-^ un plan quelconque; Tintersection de la surface par ce plan va se projeter sur le plan des xy suivant la courbe
Cette équation donne, pour B' ~ AC, Texpression
"9^ T\3 j)~~'pv*
quantité négative, et, par suite, ^intersection sera toujours elliptique. Cependant, si tfi = o, la section est une parabole; ce qui aura lieu pour un plan quelconque parallèle à l'axe de la surface, car un tel plan est représenté par une équation de la forme z = ny -{-r.
Ml. Sections circulairM. Menons un plan par l'origine des coordonnées, et supposons qu*il rencontre le paraboloïde suivant un cercle. Imaginons une sphère passant par ce cercle, et touchant à Torigne le plan des yz; elle aura pour centre un point de l'axe des x, et son équation sera de la forme
*' 4" y' 4" *' — 2rx =5 o, 00 bien,
En combinant, par soustraction, cette équation avec celle de la surface, il viendra
7+Kh^)+-(;-0
Cette équation représente une surface conique qui devra se réduire à l'ensemble dt deux plans, si le paraboloïde et la sphère ont des sections circulaires communes. Posons r=ap, rang; on aura, pour
lès plans cycliques,
9 \9 PJ
Eq admettant l'inëgalité p > 9 9 la première équation représente deux plans réels passant par Taxe des y, la seconde des plans imaginaires. Donc, le paraboloïde elliptique admet deux systèmes de plans eycliqtAes parallèles d la tangente au sommet de la section principale qui a U plus grand paramètre,
%%%, Si on applique la discussion précédente à Téquation
on trouve qu^elle représente la même surface, seulement Taxe du paraboloïde est dirigé suivant les x négatifs.
Lorsque Tun des coeflBcients du premier membre est nul dans l'équation (i), elle se réduit à l'une des formes
My« =a 2Qx, Nz* = 2Qx,
et le paraboloïde se change en un cylindre parabolique. Si Q =s o, il vient
qui est satisfaite par un point quelconque de Taxe des x; le paraboloïde se réduit h cette droite.
Enfin, si M = N, on a M (y* 4- z*) = 2Qx, et la surface est de révolution autour de Taxe des x.
En résumé, le paraboloïde elliptique est une surface indéfinie dans un sens et à un seul axe; elle est toujours rencontrée par un plan suivant une ellipse, excepté si le plan sécant est parallèle à Taxe, la section est alors parabolique. Ce genre comprend, comme variétés, le paraboloïde de révolution, le cylindre parabolique et la ligne droite.
On peut aussi considérer le paraboloïde elliptique comme la limite d'un ellipsoïde
lorsque les axes augmentent indëfiniment de manière que lim. —=»»,
c* Hm. — :=:9. En effet, l'ellipsoïde rapporté à l'extrémité de l'axe majeur
a pour équation
ou bien
«jî |»ï tyi
-+^+- — ax = o, a ' 6' ' c*
a a el, à la limite, lorsque a devient infini, on a l'équation
qui représente le paraboloïde elliptique.
9M. Plan tangent. Soit M {x'y'z') un point du paraboloïde
le plan tangent en ce point aura pour équation (N° 167)
OU
yy p
La qualité ^^^ — k — étant égale à ax', l'équation précédente peut P 9 s'écrire
Soit P la perpendiculaire abaissée de l'origine sur ce plan, et ce, |3, y les angles qu'elle fait avec les axes; en identifiant l'équation
X cos a -J- y cos (3 + z cos y = P
avec la précédente, on aura les égalités
cos a p cos ^ g cos y P '
d'où
P pcosP . y cos y
cos a cos a cos a
Substituons ces valeurs dans Téquation de la surface; on trouvera, pour l'expression de la perpendiculaire abaissée du sommet sur le plan tangent,
p cos' P + 9 cos* y ^
2 cos a
et rëquation d'un plan tangent quelconque au paraboloïde peut se mettre sous la forme
I /a 1 , p cos« p + 7 cos» y
X cos a + V cos p + « cos y + ^ i- = o.
' ^ '^ ' ' ' 2 cos a
994. Xa somme des projeclionSf sur Paxe du paraboloide, des perpendkutaires abaissies du sommet sur trois plans tangents rectangulaires est constante.
En efièt, si on ajoute membre à membre les équations
P| cos «I = — - cos* Pi — -cos* Vi,
Pt cos «1 = — ^ COS* i3i — - cos* yi,
Ps COS «8 = — - cos* ps — - cos* yj,
on trouve l'égalité
Pi cos «1 + Ps cos (Xt + Ps cos «5 = — ^ ' ■
qui justifie la proposition énoncée.
%%5. Le lieu du sommet d'un trièdre trirectangle circonscrit au paraboloïde est un plan perpendiculaire d l'axe.
Car, les équations des faces du trlèdre sont de la forme
X cos* Oi -{-y cos ai cos ^i + s cos ai cos vi +^ cos* /3i 4-- cos* yi = o,
X cos* at 4" y COS oi cos ^1 + z cos a% cos vt +Scos* fit + -cos* vi = o,
« COS* as + y cos as cos Ps + « cos as cos Vs + - cos' (3s + - cos* y» = o ;
en les ajoutant membre à membre, il viendra
eu ëgard aux relations qui existent entre les cosinus des angles de trois droites perpendiculaires; cette équation représente un plan perpendiculaire à l'axe des x.
996. Normale. Les équations de la normale au point {x'y'z') sont
Afin de déterminer le nombre de normales que l'on peut mener à la surface par un point (a, |3, y) de l'espace, exprimons que les égalités précédentes sont satisfaites par les coordonnées de ce point; on aura
ir\ y- 17-'
de sorte que les pieds des normales issues du point (a, f3, y) seront déterminés par les équations
a — X fi — V y — z V*i^*
Si on désigne par A; la valeur commune des rapports, on trouvera
facilement
Substituons ces valeurs dans l'équation de la surface; il viendra
équation du cinquiëne degré en k; par 8ui(e, il existe, en général, cinq normales passant par le point donné.
Des égalités précédentes» on tire
ou bien,
xz az q q
Multiplions la première par y et la seconde par z; on obtient, en faisant leur somme,
et, d'après Téquation de la surface, elle se réduit à
2X* -|-y' + «* — 2ax — Py — yz = o.
Comme les coefiScients de y' et de z* sont égaux, cette équation représente une surface de révolution autour d'une droite parallèle aux x. Ainsi, far un point de l'espace^ on peut mener cinq normales au paraboloïde^ el les pieds de ces normales appartiennent à une surface de révolution passant par f origine et dont taxe est parallèle à celui du paraboloide.
%%7. Plan diamétral^ diamètres. Le plan diamétral conjugué de la direction (X, p, v) dans la paraboloïde
est représenté par l'équation
