PARABOLOÏDE HYPERBOLIQUE
99ft. Le paraboloïde hyperbolique est représenté par une équation de la forme
My« — Nz* = 2Q«.
Les axes des coordonnées étant rectangnlaires, les plans des xy et des xz sont des plans principaux ; la surface n'aura qu'un seul axe dirigé suivant l'axe des x.
Les équations des sections faites par les plans coordonnés sont
y = o, Nz' = — 2Qx; z = o, My* = 2Qx.
La première représente deux lignes droites; les deux autres, des paraboles : celle du plan des xz a son axe dirigé suivant les x négatifs^ et celle du plan des xy suivant les x positifs. Désignons par 2p et 29 les paramètres de ces courbes; on aura
d'où
et l'équation du paraboloïde dcTient, par la substitution.
93*. Sections planes. Un plan parallèle à xif donne pour section une courbe ayant des ëquationg de la forme
c'est une parabole égale Ii celle du plan prindpal des xy.
De plus, un plan parallèle k xz détermine dans la surface une parabole
de même paramètre que celle du plan des xx.
Un plim parallèle é yz rencontre la surface suivant une hyperbole
P 9 dont l'axe réel est parallèle aux y ou aux z suivant le signe de a.
Enfin, si on élimine la variable z entre l'équation d'un plan quelconque
« ■= m» + «y + r et celle de la surface, on trouve
Pl|. 10.
y* (mx + wy + r)'
où B* — AC = 4 ; la section sera toujours une hyperbole, excepte
si ffl = o, c'est-ii-dire, si le plan sécant est parallèle b l'aie; dans ce cas, la section csl parabolique. Le paraboloïde n'admet pas de seclloDs
circulaires réelles, puisqu'il ne peut-être coupé suivant une courbe fermée, et il ne sera jamais de révolution.
Nous venons de constater que les sections parallèles à xy sont des paraboles égales; il en résulte que le paraboloïde hyperbolique peut être considéré comme une surface engendrée par une parabole qui se déplace parallèlement à elle-même, tandis que son sommet décrit une autre parabole; ce mode de génération indique très bien la forme de la surface illimitée dans les deux sens de Taxe des x et des z,
930. Génératrices reetilignes. Le paraboloïde hyperbolique jouit aussi de la propriété de renfermer deux systèmes de droites appelées génératrices rectilignes de la surface. En effet, soient
X = fnz-\-r, y = nz-\-8 les équations d'une droite; si elle est tout entière sur la surface, Téquation
i î — 1 2 (mz + r) = o
doit être satisfaite, quel que soit z; par suite, les paramètres vérifient les relations
La dernière équation revient h s* = 2pr, et exprime que la trace de la droite sur xy appartient à la parabole principale y* == 2px\ les deux autres donnent
L'un des paramètres reste arbitraire, et comme on a seulement deux valeurs pour m et n, il y aura deux systèmes de génératrices et seulement deux dont les équations peuvent s'écrire
(i) x = --Lz.« + r, y = ^z + 5; i/pq i/q
(2) x = T=z + r, y=— ll-£z + «;
\/pq i/q
r ci 8 sont les coordonnées d'un point quelconque de la parabole du plan xy; elles sont liées par la relation a* — 2pr = o.
Les équations des gënëratrices rectilignes peuvent aussi se déduire de celles de la surface
Posons les deux systèmes d'équations
vp yq i/p i/q ^
(2') JL^ — = iJ^, -^ L=?f?.
Xet (i étant des paramètres arbitraires, elles définissent deux systèmes de droites distinctes situées sur le paraboloîde, car en multipliant les équations (i') ou (2') membre à membre on reproduit celle de la surface. Enfin, si on écrit pour abréger
les équations précédentes deviennent
(i") a — Aa=o, Aj3— .y = o; (2") P— fx=ro, pa — y=o.
9Sf . Par chaque point du parabolMe, U passe une génératrice de chaque système.
Soient Xi,yi, Zi les coordonnées cartésiennes d'un point de la surface et, «1, (3i, yi les valeurs correspondantes de a, |3, y; si on exprime que les génératrices passent par ce point, on aura les équations
«1 — > = o, i^i — yi = o, |3i — /ui = o, yLa^ — yi = o. On en déduit
mais, d'après l'équation de la surface, on a la relation a,/3i = yi, et les deux valeurs de l ainsi que les deux valeurs de fi coïncident; par suite, il n'y a qu'une droite de chaque système qui passe par le point («iyi2i).
%%%. Deux droites d'un même système ne se reneotitrent pas, et deux droites de système différent sont dans un même plan. Soient deux droites du premier système
a — it = o, A,j3 — 7 = 0;
en retranchant ces équations membre à membre, on trouve A| — As = o, relation impossible puisque les droites sont supposées distinctes.
D'un autre côté, un plan mené par une droite du premier système est représenté par l'équation
et, si on exprime qu'il renferme la droite de l'autre système, on obtient deux conditions qui s'accordent et donnent pour A; la valeur unique - ; donc, le plan
|uia -|-Aj3 — y — A/x=0
renferme deux génératrices de système différent. Avec les coordonnées X, y, z, l'équation de ce plan serait
vp vn
%ZZ* Génératrices perpendiculaires. Si on résoud les équations (i') et (2') par rapport à x ety, il vient
(3) ^=^+7 y^î^^ + Vp;
Sous cette forme, il est visible que les deux génératrices ne peuvent pas être parallèles. La condition de perpendicularité est
— ——- + 1=0, ou V + P — 9 = o-
Ed remplaçant Xtlfn par leare valeurs, on trouve l'équation
OU bien y
Donc^ le lieu des points où les génératrices sont perpendiculaires est une hyperbole^ la courbe d'intersection du plan précédent avec la surface.
Ht 4. Les projections des génératrices sur le plan des xy sont tangentes d la parabole principale de ce plan.
En effet, éliminons la variable z entre les équations
il viendra
VP
Mais, pour un point (x', y%o) de Tbyperbolc 2/* = 2px, on a les relations
VP en substituant dans l'égalité précédente, on trouve, pour Téquation de la projection de la génératrice sur xy,
c'est celle de la tangente au point {x' y') de la parabole principale.
HSft. Les génératrices d'un même système sont parallèles d un plan fixe.
Car, réquation a — A == o représente les plans projetants des droites du premier système sur le plan des yz; or, tous ces plans sont parallèles à a = o, et, par suite, les génératrices qu'ils renferment seront parallèles au plan
a=ao ou -^ =^o.
De même, les droites du second système sont parallèles au plan
P = o ou ^ + ^=0.
Ces deus plans se nomment les plans directeur! de la surrace.
ISA. Les propriëtës précédentes conduisent h deux modes de génération rectiligne du paraboloide: Cette surface peut être engendrée par le déplacement d'une droite du second système qui s'appuie constamment sur trois droites fixes du premier^ ou encore : Le paraboli^e est la surface engendrée par le mouvement d^une droite du second système qui glisse sur deux droites fixes du premier en restant parallèle att ptan^ = o.
Réciproquement, la surface engendrée par une droite mobile qui glisse sur trois droites fixes parallèles d un plan et non situées deux d deux dans un plan est un paraboltnde hyperbolique.
En effet, soient trois droites fixes AB, CD, OE parallèles h un plnn. Prenons la droite OE pour axe desz, te plan des xz parallèle aux droites données, et pour axe des y, une droite qui rencontre AB et CD. Avec ce pi|. s.
système particulier d'axes des coordonnées, les équations des droites fixes seront
