AB) »-P (OC
la droite mobile étant parallèle & xy et rencontrant l'axe des z aura des équations de la forme
z = y, y = l^x, où les paramètres / et fx devront satisfaire à la relation
<4i = y[i si elle s'appuie sur la droite AB. L'élimjoation de )> et de (x conduit i l'équation
yi — a|3x = o qui définit un paraboloïde hyperbolique.
MT. La surface engendrée par une droite qui glisse sur deux droUes fixes eu déterminant sur chacune d'elles des segments proportionnels est un paraboloïde hyperbolique.
Remarquons d'abord que si AB el CD sont deux génératrices du parabololde, et AD, HP, BC trois droites de l'autre système, on aura
MB PC'
car si on mène par chaque droite AD, MP, BC des plans parallèles au plan directeur, ils seront parallèles entre eux et détermineront sur les deux droites AB et CD des segments proporlionnels.
Réciproquement, supposons que la ligne MP se déplace en déterminant sur deux droites fixes AB et CD des segments proportionnels. Soit Q un plan parallèle aux droites AD et BC, deux positions de la ligne mobile; ^,^ „
menons par AD et BC deux plans parallèles
i Q : le plan mené par le point H parallèlement aux derniers va intercepter sur AB et CD des segments proportionnels, et, par suite, il passera par le point P; la droite mobile MP reste donc parallèle au plan Q pendant son déplacement et engendre un paraboloïde hyperbolique.
C'est en s'appujant sur cette propriété que l'on construit des modèles en fil de cette surface. On divise les cAtés opposés AB et CD d'un quadrilatère gauche en un même nombre de parties égales; on réunit les points de division par des fils qui représentent les génératrices d'un système du paraboloïde; on fait des divisions semblables sur les deux autres cètés opposés pour obtenir le second système de génératrices de la même surface.
M8. Plan tangent; normale. L'équation du plan tangent au parabololde hyperbolique est de la forme
PI
Si on identifie eette éqnation avec celle du plan de deux génératrices S' + rt "7=+ (* - (<) 4^— 21 - *F — o .
il vient les égalités
d'où on tire
ce sont les valeurs de X et de fx des génératrices qui se coupent au point {x'y'z'). Donc, le plan tangent renferme les deux droites du paraboloïde qui passent par le point de contact; les plans tangents le long d'une même génératrice renfermeront tous cette droite, mais ils seront distincts les uns des autres.
En appliquant les formules trouvées précédemment pour le paraboloïde elliptique, on arrivera aux résultats suivants :
{''La perpendiculaire abaissée du sommet de la surface sur le plan tangent a pour expression
p cos* jS — q cos* y
2 cos a
de sorte que Nquation
p cos* |3 — ç cos* y
X cos a + y cos P + z cos y 4"
2 cos a
représente un plan tangent quelconque au paraboloïqtte hyperbolique.
2* La somme des projections^ sur l'axe du paraboloïde^ des perpendiculaires abaissées du sommet sur trois plans tangents rectangulaires est constante.
S"" Le lieu du sommet d'un angle solide trirectangle est le plan perpendiculaire d l'axe
4^ Les équations de la normcUe sont de la forme
par un p(mt de Veèpace^ on peutj en giniral^ naner cinq normales au paraboloïde hyperbolique dont les pieds appartiennent d une surface de révolution passant par le sommet ei ayant son axe parallèle à celui du paraboloide.
5* Tous les diamètres sont parallèles j et il existe une infinité d^axes obliques pour lesquels le paroboloide hyperbolique est représenté par une équation de la forme
