HOMOFOCALES

SoMMiiii. -~ Foyer if im« êurfacv du ieeond ordre; lieu dee foyere daru lee turfacee à centre; tnodee de génération de eee eurfacee, — Surfacee homofoealee : u»e$ des eurfacee homofoealee qui paeeent par un point donné; propriétés diverses ; eonstruetion des axes d'un e//ipiotde, étant donnés trois diamètres eof^uffués, — Lignes focales et surfaces homo focales dénuées de centre,

9S9. Nous avons interprété, dans la géométrie plane, les équations abrégées S — LM =» o, S — L* = o, lorsque S représente le premier membre de Téquation d'un cercle, L et M des polynômes du premier degré en x et y; en supposant que le cercle se réduise à un point, nous sommes arrivés à cette notion importante : que le foyer d'une conique est un point-cercle ayant un double contact avec la courbe suivant la directrice.

Cherchons, dans la géométrie de l'espace, la signification de l'équation

(s) S — LM = o, lorsque S, L, M désignent les fonctions suivantes :

L = te -|- wy -j- nz + P> M = /|X -j- miy + niz -f- pi.

L'équation (s) est du second degré et définit analytiquement une surface du second ordre dont les sections circulaires sont parallèles aux plans L et M; car elle est satisfaite en posant simultanément

elle passe par les cercles d'intersection des plans L et M avec la sphère S.

De plus, elle est doublement tangente à S suivant la droite d*intersection des plans L et M. En effet, soit N {x'y'z') un point commun des deux surfaces, et P =» o le plan tangent à S en ce point; d'après la manière de former Tëquation du plan tangent à une surface du second ordre, celle du plan qui touche la surface {$) au point {x^^') sera

P — (LM' 4- ML') « o,

où V et H' sont les valeurs des polynômes L et M pour les coordonnées x', y', z'. Hais, si le point N (x', y', z') appartient & la droite commune des plans L et M, on a L'=so, M't=«o; par suite, le plan tangent est le même pour les surfaces S et s; donc celles-ci ont un double contact sur la droite d'intersection des plans L et M.

Réciproquement, si une surface du second ordre est doublement tangente à une sphère aux points m et n, elle la rencontre suivant deux cercles. En effet, soient P et Q les plans tangents communs en m et n aux surfaces, et / un troisième point de leur intersection. Le plan mené par /, m, n, rencontrera les surfaces suivant deux coniques doublement tangentes en m et n, et passant par le point /; comme elles satisfont k cinq conditions, ces courbes coïncidentt Mais, Tintersection de deux surfaces du second ordre est du quatrième degré, et les autres points communs qui n'appartiennent pas au cercle précédent devront se trouver sur un second cercle. Donc, les surfaces doublement tangentes se rencontrent suivant deux courbes planes, et en désignant par Lsso, H=so, les plans des cercles communs, l'équation de la surface du second ordre sera de la forme S — LM &= o.

Lorsque la sphère se réduit à un point, c'est-à-dire, lorsque

on doit regarder ce point comme ayant un double contact avec la surface du second ordre S — LM «s: o. Tout point qui jouit de cette propriété se nomme foyer de la surface, et la droite des contacts est la directrice correspondante. Nous allons voir qu'une surface à centre admet une infinité de foyers formant trois coniques situées dans les plans principaux; ces coniques se nomment les lignes focales de la surface. Nous étudierons ensuite les propriétés des surfaces du second ordre qui ont les mômes lignes focales.