FOYERS DANS LES SURFACES A CENTRE
940. Considérons, une surface à centre rapportée & ses axes, et représentée par l'équation
Si elle admet un fo jer {a, |3, y)^ son équation doit pouvoir se ramener à la forme
mais les plans L et H étant des plans cycliques, ils sont parallèles à Tun des axes de la surface; on peut remplacer le produit LM par Fune des expressions
qui| égalées à zéro, représentent des plans se coupant suivant uoe droite parallèle à l'un des axes. Ces plans sont réels ou imaginaires suivant. le signe des constantes A, f«| v. Prenons d'abord l'équation
et exprimons qu'elle représente la même surface que l'équation (i). Les équations du centre sont
ce point étant Torigine, on doit avoir
(3) ct = )Jc, (3 = f«A, y = o.
Si on développe l'équation (2) en tenant compte des relations (3), on peut la ramener à la forme
(4) (i-^)x« + (i-/.)y« + 2«=i^«» + i::ifi^S
et, en la comparant avec (i), il vient les égalités
On en déduit
Substituons ces valeurs dans l'égalité
on trouvera que les coordonnées a, ^ d'un foyer de la surface satisfont a réquation
Donc il existe, dans le plan principal xy, une infinité de foyers de la surface situés sur la conique
JL.^^ — X.
Si on fait 8ubir les mêmes transformations aux équations
on arrivera au résultat suivant :
Le lieu des foyers d'une surface d centre du second ordre est composé de trois coniques situées dans les plans principaux et représentées par les équations
Parmi les foyers réels de la surface, on distingue les foyers dont la directrice est Tinlersection de deux plans réels et ceux dont la directrice est rîRterscction de deux plans imaginaires; on désigne les premiers sous le nom de foyers de première espèce^ les autres sous le nom de foyers de seconde espèce.
Dans chaque cas, la directrice est rintersection des plans rëels ou imaginaires
f^(y— *)"+*'(« — ?)' = o- Les coordonnées du pied de cette droite sur les plans principaux peuvent s'exprimer en fonction de a^ jS, y de la manière suivante :
— ii — , fl = — 1 .
On en tire
P \/ip — r ? |/ qi — r
en élevant au carré et ajoutant, il viendra, pour Téquation du lieu de la trace de la directrice sur xy,
Les directrices formeront une surface cylindrique ayant pour base cette conique; on Tappelle cylindre directeur. Il y aura un cylindre analogue pour chaque conique focale.
941. Les ombilics de la surface appartiennent aux lignes focales. En effet, nous avons trouvé précédemment, pour les coordonnées des ombilics des surfaces à centre, les expressions
lorsque p > 9 > r. 11 est facile de vérifier qu'elles satisfont à réquatioo de la ligne focale du plan des xz
949. Le pied de la directrice diifi foyer {a, |3, y) est ie *p6le de la tangente en ce point à la ligne focale par rapport à la section principale* La polaire du point {kj h) par rapport à la courbe principale
est représentée par Téquation
kx , hti p q
ou bien y si on remplace & et A par leurs valeursi
ax , By
c'est précisément l'équation de la tangente à la ligne focale du plan xy au point (a, j3).
94S. La droite qui joint un foyer au pied de la directrice eorrespon» dante est normale à la ligne focale.
Car réquation de la droite des points (a, Ci), (A, h) est de la forme
ou^ en remplaçant keih par leurs valeurs
cette équation représente aussi la normale au point (a, |3) de la conique focale du plan des xy.
944. Le plan mené par un foyer et la directrice correspondante rencontre la surface suivant une conique qui a pour foyer et pour directrice eepoint et celte droite.
En effet» si on prend, pour le plan des ory, le plan passant par le foyer (a, |3, y) et sa directrice, l'équation de la surface sera de la forme
où les fonctions linéaires P et Q doivent se réduire à une même ej^pression
ax-^&y-f^e pour i^^Oj puisque ces plans rencontrent le plan xy suivant la même droite. Il s'ensuit que la eonîque d'intersection dans xy sera déterminée par une équation de la forme
(x-«)t + (y-/3)«*=(ax + 6y + c)t
qui représente une courbe du second ordre ayant pour foyer (a^ P), et pour directrice (wc + 6y + c = o.
94ft. Un cône dreomerit à la st^rfaee et dont U sommet est un point de la ligne focale est de révolution.
Pourle démontrer, plaçons l'origine au foyer (a,(3,y) et faisons passer le plan des xy par la directrice correspondante; l'équation de la surface sera
W x« + y« + x«-=PQ
où P et Q désignent des polynômes de la forme
P =sax-{- 61/^ nz-]-c, Q = aa(r + 6y 4-n's-j-c,
Nous avons vu, précédemmenti que l'équation du cône circonscrit & f{^i y> Zyt) = o est de la forme
4 f{^'. yS «'. *') r{^> y. z, t) - (xy; + j/y; + zy; + ('/•;)• = o.
Si on applique cette équation au cas actuel en posant x' = y' ^s=z' = o, il viendra, pour le cône circonscrit à la surface («),
4C* (x« + y« +z« - PQ) + cMP + Q)' == O,
ou bien,
et finalement,
4 (*• + y') + 4^' + {n- ny r» = o.
Cette dernière équation définit un cône de révolution, les coefficients de x' et de y* étant égaux; son axe est perpendiculaire au plan passant par le foyer et la directrice correspondante.
S46. Appliquons maintenant les équations qui précèdent à la recherche des lignes focales dans chacune des trois surfaces à centre.
i<» Ellipsoïde. L'ëquation de cette surface ëtant
on trouvera, pour les lignes focales,
$i a^h^Cf la première est une ellipse réelle dans le plan des xy^ et les foyers sont de seconde espèce puisque A et fx ont le même signe; la seconde est une hyperbole dans le plan des xz, et les foyers sont de première espèce; la troisième est une ellipse imaginaire.
X^ |jï jji
2« Hyperboloïde à une nappe : ~ -j— ^ 5 = ^ •
Les équations des coniques focales sont :
X=»!0, z-r^ r-T ^=If M=^= n » ^ = S •
La première est une ellipse réelle, et les foyers sont de seconde
espèce; la seconde est une hyperbole et les foyers sont aussi de seconde
espèce; la troisième est une ellipse imaginaire.
x^ f/ z^ Z" ffyperboloide à deux nappes : — — jz 1'^^'
Oa trouvera pour les lignes focales
y--^^ TT^^-^v^zz?-^''' ^ — ^
Si 6 ]> 6, la première est une hyperbole et les foyers sont de seconde espèce; la seconde est une ellipse et les foyers sont de première espèce; la troisième est une ellipse imafçinaire.
On peut remarquer que dans les trois surfaces à centre» il y a toujours une ligne focale qui est imaginaire; Thyperboloîde k une nappe n'a que des foyers de seconde espèce; dans les deux autres surfaces k centre, les foyers de première espèce appartiennent au plan principal perpendiculaire aux plans cycliques.
94T. Lignes focales du cône. Soit le cAne réel représenté par Téquation ses lignes focales seront
^-^' ?+75'+6nir7« = ^' ^ — 5-' f^ — 5^5
Si a> 6, on voit que le cône n'admet qu'une conique focale réelle qui se compose de deux droites dans le plan principal des xz, et les foyers correspondants sont de seconde espèce.
On peut démontrer facilement que les lignes focales sont perpendiculaires aux plans cycliques du cône réciproque. On appelle ainsi le cône formé par les perpendiculaires élevées au sommet sur tous les plans tangents au cône donné.
Or, la perpendiculaire au plan tangent au point {x'y'z') de ce dernier est représentée par les équations
en désignant par m la valeur eommune de ces rapports, on en déduit
ax = m—f OM = mT-> cz = — m — ;
par suite
sera Téquation du lieu des perpendiculaires, c*est4-dire du cAne réciproque. Les plans cycliques de cette surface ont pour équation
si on la compare avec celle des lignes focales réelles
il est visible que la condition de perpendicularité est satisfaite.
94§. Giniration des surfaces à centre. Si dans Téquation
(x-«)'+(y-.(3)« + (z--7)« = LM, les plans L et M sont réels, on peut écrire
(x-«)« + (y^/3)« + (z-y)« = A(x-A)«-fx(y-A)«.
Le premier membre représente la distance d'un point N (x, y, z) de la surface au foyer F (a, |3, ^) ; le second, divisé par A-f-f^t ^t égal au produit des perpendiculaires abaissées du point N sur les plans L et M* Si on désigne par NP et NQ ces perpendiculaires, Téquation précédente revient à
Nf* = (?. + ;z)NP.NQ; d'où
NF* yp.j^Q = ^ + F = constante.
Ainsi, la surface peut être considérée comme le lieu des points tels que le carré de la distance de chacun d'eux à un point fixe est dans un rapport constant avec le produit des distances de ce point à deux plans fixes.
En second lieu, supposons que les plans L et H soient imaginaires
et que l'on ait pour Téquation de la surface
Soit N(x', y\ z') un point de cette surface. Menons par ce point un * plan parallèle à l'axe des y et ayant pour équation
il rencontrera la directrice correspondante k un foyer en un point dont les coordonnées seront déterminées par
(D) x = fc, y = ''> 2 — z'=sfn{k — x').
Il en résulte que le carré de la distance du point N au précédent aura pour expression
ND* = («'— *)•+ (y'— A)»+ m»(x'— ky = {i + m«)(x'— Jt)«+(y'-.*)«. En posant i -f- m* s= - » il viendra
