Considérons une surface à centre représentée, par

Si on désigne par X un paramètre arbitraire, l'équation

définit un système de surfaces à centre dont les axes sont dirigés suivant les mêmes droites; de plus, elles admettent les mêmes lignes focales, comme on peut facilement s*en convaincre en formant les équations de ces coniques. Les surfaces qui jouissent de ces propriétés se nomment surfaces homofocales.

Aussi longtemps que A est positif, Téquation (2) représente un ellipsoïde réel. Supposons a>6.>c et 'A=3 — fz*. Il viendra Téquation

qui représentera un ellipsoïde, si [i* < c*; un byperboloide & une nappe, si fx* est compris entre 6' et c*; un hyperboloïde à deux nappes, si fx* varie entre 6* et a*; un ellipsoïde imaginaire, si fx* est plus grand que a'.

Supposons que /x* varie en se rapprochant de plus en plus de c'; à la limite, lorsque fx* s=s c', un des axes est nul dans la surface homofocale; celle-ci se réduira à la conique focale

De même, si [i* ea 6* la surface homofocale se réduit à la ligne focale

située dans le plan des xz. On doit regarder les lignes focales comme étant des surfaces homofocales infiniment aplaties.

SftO. TVois surfaces homofocales paaseuf par chaque point de Fespaee: un ellipsoïde^ un hyperbolotde à une nappe et un hyperbo^ loïde à deux nappes.

Si on exprime que la surface (3) passe par un point (x'y V), on aura réquation

ou bien, en développant,

+ z'*{fi}— 6«) (fx«- a*) = o.

Elle est du troisième degré en jea*» et admet toujours trois raaines réelles; car en substituant à fi* les quantités

— Qo, c«, 6«, a*,

les signes des résultats correspondants sont

Il 7 a une racine plus petite que c* à laquelle correspondra un ellipsoïde; la racine comprise entre c* et 6* donnera un hyperboloïde à une nappe, et la dernière racine un hyperboloïde à deux nappes. Soient fj.', fi'\ fi'" les racines, et a'6V, o"6'V', o'"6'"c'", les axes des trois surfaces. On aura les relations

a'« =a« — fx'*, 6'« = 6« — fx'«, c'« = c« - pi'»; (f) a"« = a'— pi"», 6"» c= 6« — fji"«, c"* = c«— p"»; a'"« = o* — /x'"S 6'"« = 6« — p'"», c'"» = c* — fA'"«.

ffti. Exprimer les coordonnées ffun point (x'y'z') en foneUon des axes des surfaces homofocales qui passent par ce point.

Posons a* — fx« = Ç* ; on aura

6« — fx* -= Ç« + 6« — aS c« — p» = Ê« + c« — o%

et, en désignant par m' et n* les quantités positives a' — &^, a* — c', il viendra finalement

o> — fji« = $% 6« — fx» = C« — mS c« — /i«=:Ç* — n«.

Substituons ces valeurs dans Téquation du troisième degré en {j.*; on aura

Çt (Ç« „j«) (gt ;,.) a^/î (^J ,„9) (Ci ^î) y/« (g. ^î) Ç,

ou bien^ en développant,

+ ny« + mV») — m«n V* = o.

Cette équation du troisième degré donnera trois racines réelles comme la précédente; ces racines seront les axes a'*, a"^, a'"^ des surfaces homofucales qui se rencontrent au point (x'yV).

Gomme leur produit est égal au dernier terme de Téquation changé de signe, on aura

a' V'V"« « m*/i*x'«, ou o' V'V"« = (o« — 6«) (a* — c«) a'*.

Par une transformation analogue de l'équation en fx^, on trouverait de la mémo manière les égalités

On en déduit^ pour les formules cherchées,

L'équation en Ç' donne aussi Tégalité

a;'» + y'a + ;5'« + wi8 + n« = a'« + o"* + a'"»;

d*où

^'* + y'* + *" = o" + «' — F"* + a' — f*'"* — a* + 6* — a' + c% ou bien

Donc le carré du rayon yecteur du point {x'y'z') est égal & la somme des carrés des trois axes a\ b'\ c'" appartenant aux (rois surfaces bomofocales qui passent par ce point.

%i%. Deux surfaces homo focales se coupent d angle droit. Soient les deux surfaces

Un point quelconque (x,y, z) de leur intersection satisfait à Tcquation

^'> (a«^'«)(a« — f*"»)'^(6« — fx'») (6« — fx"^)'»"(c«— p'«) (c« — fx"*) "" ^

obtenue en retranchant les précédentes membre k membre. Les équations des plans tangents au point {x' y' z') des deux surfaces sont de la forme

xx' i yy' ! ^*'

a» — ^"«~6« — fx"«~c* — ""«

ils seront perpendiculaires ayec la condition

Mais, d'après la relation {f)^ cette condition est satisfaite; donc les surfaces se coupent à angle droit.

95S. £e lieu du pôle d'un plan fixe par rapport à un système de surfaces homofocajes est une droite perpendiculaire d ce plan^

L'équation du plan polaire d'un point («y^') relativement à la surface

est de la forme

Identifions cette équation ayec celle d'un plan fixe lx'\'fny'\'nzssip; on aura les égalités

P O' II* p 6* jJL* p c* /!X' '

d'où

Il en résulte que les coordonnées du pAle satisfont aux équations

qui déterminent une droite perpendiculaire au plan fixe. Si le plan fixe est tangent à la surface homofocale

le lieu du pôle de ce plan par rapport à toutes les surfaces du système sera la normale du point de contact.

954. Trouver ks axes d^une section centrale faite dans la surface homofocale (a% 6^, c') qui passe par le point M parallèlement au plan tangent en eepoint.

Les surfaces homofocales qui se coupent au point M sont orthogonales, de sorte que leurs plans tangents en ce point forment un système de trois plans rectangulaires, et le plan tangent en JH à la surface (a', 6% c') renfermera les normales aux deux autres; nous allons Toir que ces normales sont parallèles aux axes de la section centrale parallèle au plan tangent.

En efiet» deux directions conjuguées (<x, (3, y\ {a', jâ^ /) satisfont a la relation

ios a cos «' , cos P cos |5' ^. cos y cos y'

mais les cosinus directeurs des normales aux surfaces (a'' 6' V),(a'"6'''c'-') ont pour valeurs

»' V' jj'

p'f et p'" sont les perpendiculaires abaissées du cenlre sur les plans tangents. Substituons ces quantités aux cosinus de la relation précédente : il viendra

équation qui est satisfaite par les coordonnées du point M, car si on retranche membre à membre les relations (N<> 25â)

on aura

en observant que a'"* — a"« = 6'"* — 6'" = c'"" — c"«. Il en résulte que les normales sont parallèles à deux diamètres conjugués de la section I et^ comme elles sont rectangulaires, elles seront parallèles aux axes. Cela étant, si on désigne les axes cherchés par A' et B', on aura

t cos'of .cos* (3 . cos^y ^/g / ^'^ \ V*^ \ ^'* V

Mais, si oa retranche membre à membre les relations

il vient

On en déduit, par la comparaison, A'':=a" — a"^ On trouvera semblablement B'' = a'* — a''".

De même, les axes des sections centrales faites dans les deux autres surfaces parallèment & leur plan tangent seront

955. Trouver les perpendiculaires abaissées du centre sur les plans tangerUs au point d'intersection de trois surfaces homofocales.

Le parallélipipède construit sur A', B', p' est équivalent au parallélipipéde construit sur les axes de la surface (a'fr'c'). On aurft done réquation

p'A'B' = a'6V ; d'où

par suite

P "^ (tt'« — o"*) (a'« — o'"«) ' On trouvera aussi

La comparaison de ces valeurs avec les expressions de a/', j/", z'* (N"" 2S1) nous montre que le point M peut être considéré comme le centre d'un système de trois surfaces homofocales rapportées aux plans tangents rectangulaires, cft passant par le centre du système primitif; elles sont tangentes aux plans principaux de ce dernier, et leurs axes

sont respectivement a% a", a'"; 6', 6", 6'"; e^c*', c'". Les quantités p', /?'% p"' sont les coordonnées du centre des premières surfaces orthogonales par rapport aux plans principaux des trois autres.

956. Leè axes d'un cône circonscrit à une surface homofocale sont les normales aux surfaces homo focales qui passent par le sommet.

Soient x'^y^ z^ les coordonnées du sommet d*un cône circonscrit à la surface homofocale

son équation est de la forme

/x" y" z" \fx* y* zl \ (XX' yy' zz' \t

Posons I pour abréger, et développons Téquation précédente. On aura

D'un autre côté, les cosinus directeurs de la normale à la surface

ac' y' z'

(o'6'c') sont p' -7, > P'hfî^ P' "7î ' ^^^^ allons voir qu'ils satisfont

aux égalités (N*" 160)

AX + B^> + B^ B"A + AV + By B'A + Bf* -{- A"y

A ft y

qui caractérisent les directions principales. En effet, en substituant, le premier rapport devient

s=—ïfoL'——\— ^ yL—^ ^]

ou

Mais, si oa retranche membre à membre les ëqa«li«QS

[2 rî^ , ^'' on trouve

^Vi î/ i ^

-•-(■■■•-«■)(^+tCi+.vi)'

par suite, la valeur précédente de S deviendra

et

cl' o» — a"

Celte expression est symétrique et les autres rapports {k) auront la même valeur. Donc la normale à la surface (a'6'c') sera une direction principale du cône. On verra de même que les normales aux surfaces (a"6"c"), {a"^V"c!") sont les deux autres directions principales, et on aura aussi

Inéquation du cône circonscrit rapporté & ses axes sera de la forme

rt« — o'« "^ o« — a"« ■*" o« — o'"* ~ ^'

t57. i>puar cdne« dé même 9omme< sont circonserUs à deux surfaces homo focales (<Xi|3i7i)^ (^sl^syt); trouver /e segment intercepté sur une arête commune par un plan mené par le centre parallèlement au plan tangent à l*une des surfaces homofocales qui passent par le sommet commun.

Les cônes rapportés aux normales des surfaces hoinofocales qui passent par leur sommet sont représentés par les équations

a'« — a,» + o"« — ai« "*" o"'» — «i« "" °'

a'* — a»» »" o"* — ai» "^ a'"« — a,« ^'

Soit D' la distance chercliée» et x, y, z les coordonnées du point où le plan diamétral parallèle au plan tangent à la surface (a'6'c') rencontre une arête commune. On aura

Mais la distance du sommet du cône au plan diamétral est égale à p'y et si on suppose l'axe des x parallèle à p'j on aura x = p'; par suite, les coordonnées du point (x, y, z) satisfont aux équations

En résolvant ces égalités par rapport à y^ et z^^ et substituant ensuite leurs valeurs dans l'expression de D'% on trouvera

Le numérateur est égal au produit

tandis que p' a pour expression

Par la substitution, il viendra pour la distance cherchée

(a'« — ai«) (a'« — a,»)

De même, les segments W, D'" interceptés sur une arête eommtine

des cAnes par les plans diaoïëtraHt parallèles nux plans tangente aux surfaces hoikiofoeales {a'^h''ç'% {a''^b"'e^^') seront déterminés par les formules

958. Supposons que les surfaces bomofocales {cm^iyK^ {ctj^%yi^ enveloppées par les cAnes se réduisent aux lignes focales réelles dé Tellipsoïde (a'6V) et dont les équations sont de la forme

• On aura «i* «s a'* — c'*, aj* = a'* — 6'* ; par suite la distance IK se réduit à a^

D'où ce théorème : Si par un point H de l'ellipsoïde on mine une droite qui s^appuie sur les lignes focales^ le plan diamétral parallèle (III plan tangent en M â la surface interceptera sur cette droite une longueur égale à Vaxe majeur de Vellipsoïde.

Le^ plans menés par le centre parallèlement aux plans tangents des deux autres surfaces homofocales du point H détermineront aussi sur la même droite des longueurs égales à a" et a"'*

959. Construction des axeSt étant donnés trois diamètres conjugués d^une surface du second ordre. Soient OA, OB, OG trois demi-diamètres conjugués de la surface

dont les demi-axes sont a' h\ c\ Par Textrémité C du troisième diamètre, menons un plan parallèle au plaii des detx autres; il sera tatigentà la surface. Connaissant les diamètres conjugués OA,OB de la section centrale du plan OAB, on peut déterminer les axes de cette section et, par suite, les valeurs des différences o" — o"% o'« — o'"* (N^ 2B4). Le point C est le centre de trois surfaces homofocales passant par le point 0 et tangentes aux plans principaux de la surface (a'6V). On peut construire les lignes focales de ce système; car on connaît les plans où elles se trouvent^ ces plans étant déterminés par la nori)aale e|i Ç et les para|lè)ea

menées par le point C aux axes de la section centrale; les axés des focales sont déterminés en direction et les carrés des longueurs de ces axes

se déduisent des quantités connues a'* — a"*, a'^ — a'"^. Les cônes ayant pour sommet le centre O, et passant par les lignes foicales vont se rencontrer suivant quatre droites; les plans principaux de ces cônes étant les plans tangents aux surfaces homofocales qui passent par le sommet, les directions des axes de la surface {a'b'c') seront les intersections des six plans menés par les arêtes communes et combinés deux à deux; les longueurs des axes seront les segments déterminés 'sur les arêtes communes par les plans menés par le point C parallèlement aux plans principaux.