S. LIGNES FOCALES ET SURFACES HOMOFOCALES DÉPOURVUES DE CENTRE
960, Considérons d*abord le paraboloîde elliptique représenté par l'équation
Si la surface admet un foyer, il faut que son équation puisse se ramener à l'une des formes
(3) {x-«)'+(y-^)' + («-y)'=.A(x-A)« + v(«-3)*. En dëreloppant, l'ëqaatîon (a) devient
(a*) (i — A) X* + (i — (*) y* + «* — 2 (« — ÀA) X — 2 (P — \fh)y — 2y«
-I- «» + P« + y» — XA» - (lA» = o.
Si on la compare avec (i), on aura les relations
I— A = o, y = o, a* + (5* = i** + f^S p (i — (i) = ^ = a — A*, |3 — (aA = 0.
On en tire
par suite»
OU
Il en résulte que le paraboloide admet une première ligne focale dans le plan des xy ayant pour équation
c^est une parabole dont l'axe est dirige suivant les x positifs si})> q; les foyers correspondants sont de seconde espèce, car on a
L'équation (3) étant développée devient
(i — 7.) X* + j/* + (i — y) je* — 2x{a. — Ik) r- 2^y — 2z{y — vq)
et| par la comparaison avec (i), on trouve les relations
I — > = o, P = o, a* -|- y' = AA* + vg*y p = q(i — y)=a, — >&, y — vj = o. D*où
Xs=?i, a* + y* = (a — p)' + ^> vt=2 L'
parsuitCi
- Le parabol'oîde admet une seconde ligne focale dans le plan principal xz ; c'est la parabole représentée par Téquation
les foyers eorrespondants sont de première espèce, car on a
et ces coefficients sont de signe différent si p > 9.
Par le changement de 9 en — g dans les équations précédentes, il viendra pour les lignes focales du paraboloïde hyperbolique
Ce sont deux paraboles et les foyers sont toujours de 'seconde espèce. S6I; Lorsque Içs plans !« et M BOQt ré(cls 4sns l'équatiDQ
on peut appliquer au paraboloïde elliptique le même mode de génération qu'aux surfaces à centre. Si les plans sont imaginaires, la quantité m (N® S48) a pour valeur
elle est donc réelle si p > 9 ; par suite, on peut appliquer au premier paraboloïde le second mode de génération des surfaces à centre. Il n*en est plus ainsi pour le second paraboloïde, car on a
et la quantité m est imaginaire. Dans ce cas, comptons la distance d*un point N ((x^^y'z') de la surface à la directrice parallèlement au plan zs^ny. Le plan
rencontrera la directrice en un point dont les coordonnées sont déterminées par les relations
On aara pour h distance ND,
ND*=(ic' -*)•+ (y'- hy+ n V- *)•- {x' - fc)«+ (i -f n«) (y' - hf. Posons
il Tiendra
et rëquation de la surface peut s'écrire
NF'^-Nd";
d'où
NF
La quantité i
% est n
Selle et égale à
-vr-
et réquatiôn z
= ny
devient
ou bien,
P 9 elle représente les plans directeurs de la surface.
Donc, le paraholoïde hyperbolique peut être eomidéri comme le lieu dei points teli que leur distance d un foyer est égale à leur distance à la directrice correspondante^ cette dernière distance étant comptée parallèlement d un plan directeur.
96t. Surfaces homofocales. Soit le paraboloîde
fi* z*
l'équation
où fi est un paramètre arbitraire, définit un système de surfaces ^tti ont les mêmes lignes focales que la proposée; on peut s'en convaincre en appliquant la méthode précédente. En particulier, les sections principales
ont les mêmes foyers que les sections principales du paraboloîde pro« posé; car la première a son sommet sur l'axe des x à une distance — ^ de Torigine, et la distance du foyer à l'origine sera
De même, la distance du foyer de la seconde h l'origine est - ; les
foyers de ces lignes coïncident dont avec ceux des paraboles principales de la surface proposée.
Les surfaces (5) sont toujours des paraboloïdes elliptiques excepté lorsque le paramètre 11 varie entre p et q. Elles se coupent orthogonalement, car les plans tangents en un point (x'y'z') de rintersection des deux surfaces homofocales
— {-— j- 2X— .fA, = 0, — j- j-— T- --2X-Ui = p,
ayant pour équations
yy ' ^
-j ; (x -}- x') — fX, = O,
la condition de perpendicularité sera
or, si on retranche membre à membre les équations des surfaces,
on obtient
+7rT7T7r:r73+^
la condition de perpendicularité des plans tangents est satisfaite et les surfaces sont orthogonales.
Les surfaces homofoçales dénuées de centre ont plusieurs propriétés communes avec les surfaces homofoçales à centre; nous croyons inutile de répéter ici les démonstrations qui se trouvent au paragraphe précédent.
