SURFACES DU SECOND ORDRE
(Ooordonnéei tétroéâriques et tugentiellM.)
SoMMAïu. — Équaiion du êeeond degré entre lee coordowniei Utraédriqm»; tetUre, diamètre^ plan tangent et plan polaire ; cône dreoneerit et ndne aeymptote ; genre de la eurfaee représentée par l'équation générale, — Équation du teeond degré en coordonnées tangentielles ; passage de l'équation d'une surface du second ordre en coordonnées tangentielles à l'équation de la même surface en coordonnées cartésiennes, et réciproquement, — Formes particulières de VéquatioUj lorsque la surface est inscrite ou circonscrite à un tétraèdre^ à un quadrUaière gauche; surface coi^ugu^ au tétraèdre de référence.
§ i. ÉQUATION DD SEGOlfD DEGRÉ EN COORDONNÉES TÉTRAÉDRIQUES.
96S. L'cquation générale et homogène du second degré entre les coordonnées tétraédriques est de la forme
(i) ahA* -}- OfiB* -|- «»»C* + 0440* + 2aisAB -j- 2aisAC + 2auAD
+ 2a83BC + 2a24BD + 2as4CD = o.
Si on remplace les lettres A, B, C, D par les polynômes
X cos «1 + y cos j3| + je cos yi — tti elc,
elle sera aussi du second degré par rapport aux coordonnées cartésiennes; elle représente donc une surface du second ordre qui peut être quelconque puisqu'elle renferme neuf paramètres arbitraires. Réciproquement^ les coordonnées d*un point qui se déplace sur une
surface du second ordre donnée satisferont à une ëquttion de la forme (i); car si on détermine les paramètres de l'équation en exprimant que la surface qu'elle représente satisfait à neuf conditions communes avec la surface donnée, Téquation ainsi obtenue sera la définition analytique de cette surface et, par suite, elle sera vérifiée par les coordonnées tétraédriques de Tun quelconque de ses points.
Afin d'abréger, nous écrirons simplement pour l'équation précédente : F (A, B, C^ D) =o; nous désignerons par Fl, F., Fc, F^' les dérivées partielles de F prises par rapport à chaque coordonnée; enfin, les expressions F (A', B', C, D'), F'„ Fi„ F'„ Fi„ indiqueront les valeurs de ces fonctions pour les coordonnées d'un point (A'B'C'D') de l'espace.
264. Trouver les coordonnées du centre de la surface F (A,B,C,D) = o. Soient A', B', G', D' les coordonnées inconnues du centre. Une droite menée par ce point sera définie par des équations de la forme
Ai Â% /s /4
les coefiGlcients directeurs étant liés par la relation
(a) aXi -{- 6iî + cXs + dAi = o.
On en déduit
A = A' + X,p, B = B' + i,p, C = C' + A8p, D = iy + i4p.
Substituons ces valeurs dans l'équation de la surface; il viendra, en développant,
F (A',B',C',D') + p (XiFl, + AjF;, + XsFc', + hK)
Cette équation du second degré détermine les valeurs de. p qui. se rapportent aux points d'intersection de la droite avec la surface; mais, toute droite menée parle centre y est divisée en deux parties égales; par suite, les racines de l'équation doivent être égales et de signes contraires, et l'on doit avoir la relation
quelle que soit la direction de la droite. £n la comparant avec
l'égalité {a)t on trouve que les coordonnées du centre vérifient les équations
Ff u' -pf p'
A/ r„ tcf ro,
mm^ S^S •'^•^ ^SS ^^^ SSS a^** •
Soit fc la valeur commune de ces rapports; on aura les équations
anA' -j- aitB' -(- aisC -j- auO' — Aa =» o, ail A' + ajjB' + a„C' + as4 D' — fc6 = o, aji A' -j- asiB' -|- azzC + O54D' — - Arc = o, a*! A' + a4iB' + a4jC' + a44D' — kd = o, oA' + 6B' + cC 4. dD' = — 3V.
La surface aura un centre à une distance finie, si le déterminant
an «!« an ttu — a au fl«t flts au — b azi Obi 038 «84 — c
est plus grand ou plus petit que zéro; dans le cas contraire, le centre sera à l'infini.
Lorsque Téqualion représente une surface conique, le centre étant sur la surface, on a F (A', B^ C, D',) e o. Or, des égalités précédentes on tire
K ^ F[/^Ç^^^. ^AT:, + BT;, + CT; + DT^,^2F (A^ B% C, W) a b c'^d aA' + 6B' + cC + rfD' *^ —3V '
par suite,
n en résulte que la condition pour que l'équation générale représente un cône sera
an ail ai8 au
asi a» ass at4
asi ait 023 «34
équation qui est le résultat de l'élimination des coordonnées A^ B', C% D^ entre les relations précédentes.
965. Trouver Nquation du plan diamétral conjugué d*une direction donnée (X| A| As X4).
Menons dans la surface une corde MN parallèle à la direction donnée^ et soient A^ fi\ G', D' les coordonnées du milieu de la corde. On aura pour un point quelconque de cette droite
La substitution de ces valeurs dans F (A, B, C, D) = o conduit à l'équation
F (A', B', C, D') + p (hK + ^^K + h¥'c, + A4F„',) + p«F(>i,X„A3, i4) = o
qui doit avoir des racines égales et de signes contraires, puisque le point (A'B'C'D') est le milieu de la corde; ce qui exige que Ton ait
a.f:, + x.f; + Xjf; + i4Fo', = o.
Comme nous avons considéré une corde quelconque, le lieu des milieux de toutes les corden parallèles à la direction donnée sera le plan défini par Téquation
Les valeurs des dérivées pour les coordonnées du centre sont proportionnelles à a, 6, c, d; par suite, le résultat de la substitution de ces coordonnées dans Téquation précédente sera égal à
k (ail + bit + eh + dké) ;
mais cette expression est nulle, en vertu de la relation qui existe entre les coefficients directeurs d'une droite; donc, le plan diamétral passe par le centre de la surface.
966. Plan tangent. Soit H (A' B' C W) un point de la surface F (Ay B, C, D,) BB o. Menons par ce point une droite ayant pour équations
' LéspAiûti où elle rèacontrc la surface sont dëtermioés par
F (A', B', C, D') + p (^P:, + i,Fi, + i3F;+ IJ?^,)
+ p«F (Af , i„ )»s, M = o ;
mais F (A^ B', C% D',) s= o puisque le poiat H est sur la surface; de plus, si on suppose que le second point d'intersection se rapproche indéfiniment du premier, à la limite, les deux valeurs de p sont nulles; par suite, les coefficients directeurs d'une tangente à la surface au point (A'B'C'D') doivent satisfaire à la relation
L'élimination des quantités ht ^ly hf ^4 au moyen des équations de la droite nous donne pour le plan tangent au point (A'BX^D') de la surface
(A-A')F:, + (B-B')F:, + (C-C')Fi, + (D-DOFi, = o,
on bien,
AF:, + BF;, + CF^, + DFo', = o ;
car, on sait que
AT:, + B'F; + CTc, + D'Fi, = 2F (A', B', C\ D') = o.
Si on identifie cette équation avec celle d'un plan donné
/A + mB -}-»C + pD = Oi
on arrive aux égalités
A/ £^ Vcf ror ^
en désignant par k la valeur commune de ces rapports, il viendra
aiiA^ + ai«B' + auC + ai4D' — . AZ ™ o, a«A' + ouB' -f* aisC + auD' — fcm *« o, asi A' + a,tB' + os»C' + azJ>' — A/i =» o, atiA' + a4tB' + 04jC' + O44D' — kp = o.
• De plus, le point de contact' devant appartenir au plan donné, on a aussi
fA'-|-mB' + nC' + pD' = o.
Si on élimine entre ces équations les coordonnées du point de contact, on arrivera i la condition pour que le plan donné touche la surface F (A, B, C, D) = o ; ce sera :
flii Alt Ois Ou l oii ait ai8 014 tit
QU Osi Osf 084 M 041 041 041 044 P
9S7. Le plan tangent rencontre la surface iuivant deux draUn réelles ou imaginaires. Pour le démontrer, supposons que le sommet du tétraèdre où aboutissent les faces B, C, D appartienne h la surface, et prenons pour la face D le plan tangent en ce point. L'équation générale devant être satisfaite en posant B = C = 'D = Oj le coeflScient ail sera nul. Le plan tangent au point (A\ o, o, o) a pour équation
FI = o, ou aiiA-f-OisB-^-aisG-l-auDso,
et comme il doit coïncider avec le plan D^o, on aura ais = o, an =3 o. Il en résulte que la surface rapportée à ce tétraèdre particulier sera représentée par une équation de la forme
OtiB» + azzC* + 044D« + 014AD + OtsBC + ai4BD+ OmCD = o.
L'intersection du plan tangent D avec la surface se composera des droites définies par les équations
D = o, OttB» + osi €• + omBC = o.
D'après l'étude que nous avons faite des surfaces du second ordre^ ces droites sont réelles pour rhypcrboloïde ft une nappe et le paraboloîde hyperbolique ainsi que dans le cône et le cylindre où elles coïncident.
9«S. Plan polaire. Soit M (A'fi'G'D') un point de l'espace. Menons par ce point une droite quelconque et désignons par A", B'\ C\ D'' les coordonnées d'un second point de la droite; celles d'un point
quelcoaque de la même ligne seront données par les formules ; X' + W ■ W + IW ^ C'4-AC" ^ D' + iD"
Afin de déterminer les points où la droite rencontre la surface F (A, B, C, D) as o, substituons ces valeurs dans cette dernière équation. On trouvera, en développant,
(A) F (A', B'. C, D') + À (A"F:, + B'Ti, + CT^, + D"Fi,)
Or, si le point (A"B'T''D'') est le conjugué harmonique du point (A'B'C'D') par rapport aux points d'intersection de la droite avec la surface, Téquation précédente doit donner des valeurs égales et de signes contraires pour A; par conséquent, on aura la relation
A"F:, + B'Ti, + CTc + D"Fi, = o.
Gomme la droite considérée est quelconque, le lieu du conjugué harmonique du point (A'BT/D') ou le plan polaire de ce point par rapport à la surface F (A, B, G, D) = o sera représenté par l'équation
AF:, + BF;, + GF; + DFi, = o, ou bien,
a'f: + b'f; + GTj + dt; « o.
Il en résulte que le pôle d*un plan ayant pour équation
/A + »»B-|-nG+pD = o sera déterminé par les égalités
F/ nf nf ri/
a; r,, tcf fo^
l m n p auxquelles il faut joindre la relation aA' -{* 6B' -{- cC^ + ^^^ = — 3^*
969. Cône circoMcrit. Lorsque la droite menée du point (A'B'G'D') est tangente à la surface F (A, B, G, D) =» o, Téquation (A) doit avoir des racines égales; ce qui exige que l'on ait
(A"F:,+ B"Fi,+C"FÎ,+D"F;)« — 4F (A',B',G',D') F (A",B",G",D")== o-
Cette équation sera satisfaite par les coordonnées d'un point variable d*une tangente quelconque issue du, point (A'B'C'D'); le lieu de toutes les tangentes ou le cAne circonscrit à la surface ayant pour sommet ce point sera défini pir l'équation
(AF:, + BF;,+ CFi,+ DF„',)* — 4F(A,B,C,D)F(A',B',CMy) = o.
Si on remplace les quantités À', B\ C\ D' paî* les coordonnées du centre, elle représentera le cAne asymptote qui sera réel ou imaginaire suivant le genre de la surface déterminée par l'équation.
On Toit que la courbe de contact du cône circonscrit est la conique d'intersection du plan polaire A¥[, + BFi, + CFi, + DFi, = o avec la surface F (A, B, C, D) = o.
%7Q. Pour déterminer l'espèce de surface représentée par une équation du second degré en coordonnées tétraédriques^ on vérifiera d'abord si la surface admet un centre i une distance finie ou si le centre est à l'infini. Dans le premier cas, l'équation représentera un ellipsoïde, si le cAne asymptote est imaginaire et l'un des deux hyperboloîdes si ce cône est réel; ce sera un hyperboloïde & une nappe ou à deux nappes suivant que les droites d'intersection du plan tangent avec la surface seront réelles ou imaginaires. Lorsque le centre est k l'infini, l'équation définit un paraboloïde elliptique ou hyperbolique suivant la nature de l'intersection du plan tangent.
Si l'équation du second degré ne renferme que trois coordonnées et se présente sous la forme
asiB* -|- assG* -f aiJ)* + ai^BG + a^BD -|- asiCD = o,
elle représente un c4ne dont le sommet coïncide avec le point d'intersection des faces B, G, D du tétraèdre; car la condition du N"" 264 est satisfaite.
Toute équation à deux coordonnées, par exemple,
atiB* + a%tO -f- atsBG = o
représentera deux plans réels ou imaginaires passant par une arête du tétraèdre de référence.
