ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ EN COORDONNÉES TANGBNTIELLBS

971. Considérons d'abord Téquation gënërale du second degré en 11, Vf et w qu*on peut écrire

(i) /(il, V, w) = Aa« + A'p» + k"w* + aBiw + aB'toii -f 2B"ti»

+ 2B11 + 2Cv + aC'to + F = 0.

Nous allons démontrer qu'elle définit une surface à laquelle on peut mener deux plans tangents par une droite donnée. Soient (ii' v' u/)^ (tf'V'10") deui plans fixes qui se coupent suivant une certaine droite D; un pliin quelconque passant par D aura des coordonnées de la forme

tt' 4. am" „' + Xu" w' 4- Au?"

Substituons ces valeurs dans l'équation (i) : il viendra, en développant,

(a) /(u', «', w') + a[m"/;, + v'y; + lo'Y^ + 2 (Cu' + cv

+ C"a7' + F)] + i« /•(!!" t?" lo'O = 0.

Cette équation est du second degré en A et ses racines correspondent aux plans tangents à la surface passant par l'intersection des plans fixes.

Ainsi, par une droite quelconque D on peut mener deux plans tangents. Une surface qui jouit de cette propriété est dite de eeconde elane; l'équation (i) est la définition analytique des surfaces de seconde classe. En général, la classe d'une surface est donnée par le degré de son équation en coordonnées tangentielles.

L'équation (i) renferme neuf paramètres distincts; il faudra neuf conditions géométriques simples pour que la surface qu'elle représente soit complètement déterminée. Ainsi, une surface de seconde classe est déterminée par neuf plans tangents; car on aura, pour calculer les paramètres neuf équations du premier degré de la forme

AtiJ + A'i?î + A'X + 2Bi;,!i;, + aB'iiitri + 2B"fiii;i + 2Cmi

+ 2C'i;i + 2C"tt?, + F == G ;

elles donneront, en général, un seul système de valeurs finies et déter-

A A' minées pour les inconnues rr » -r> etc.

979. Équation du point de contact. Si, parmi les deux plans (iiVtt?')>(w"w"ti?"), le premier est tangent à la surface, on a /ïtt',»',ti?')=o, et l'équation (a) s'abaisse au premier degré relativement & ^; ce qui veut dire qu'on ne peut plus mener par la droite D qu'un seul plan tangent à la surface distinct du plan (uVfi^'). Supposons que le plan {u"v"u/') passe par le point de contact de {u'v'w'); leur droite d'intersection sera tangente il la surface et le second plan tangent coïncidera avec (tiVff?'); donc la seconde racine est nulle, et on doit avoir la relation

t«"A +• t?'/;, + u/'fi, + 2 (Cil' + CV + C'W + F) = o.

Cette équation sera satisfaite par les coordonnées d'un plan quelconque passant par le point de contact du plan tangent {u'v'w'); l'équation de ce point sera donc

t«/ï/ + t^/ï/ + «^ A + 2 (Cu' -f C V + Cw' + F) = o.

A6n d'introduire plus de symétrie dans les formules, on rend souvent l'équation (i) homogène en remplaçant les variables par les rapports

- 1 - 9 — ; il vient alors, en multipliant par r*, r r r

f{u, », w, r) = Aii« + A't?» + A"tc» + 2Bt;i» + aB'tmi + 2B"tii> + 2Ct«r + 2C't?r + 2C"ti;r + Fr» = o.

Le point de contact, dans cette hypothèse, est représenté par l'équation

ou bien,

De même, l'équation homogène d'un point ayant pour coordonnées cartésiennes x, y, z, ( sera de la forme

t<x -f- vy + ti?z + r( = o.

On passe des équations précédentes aux équations non homogènes en posant r = Is I.

97 S. Trouver la condition pour (ju^un^ eurface rff $econde efoêse $e riduiee d une conique plane,

L'équation du point de contact d'un plan tangent (tiVto'(') l la surface f{uvwr) = o peut s'écrire

u' (Ati + B"v + B'a? + Cr) + »' (B"tt + A'v + Bti> + CV) + u/ (B'i# + Bv + A"ti? + C") + r (Cu + C't? + C'iD + Fr) «= o,

avec la condition /(ii', t)\ ti7% r') = o. Mais, si on désigne par tii| Vi, tTi , fi les coordonnées du plan de la conique, on aura la relation

tt' (Awi 4- W'vi + Wwi + Cfi) + V' (B"ii, + A'», + BiOi + Cn) + te' (B'ui + Br« + A"wi + C"n) + <'(Cw,+ C'Wi+ C"m;i+ Fri)=o;

elle sera salisfaite par toutes les valeurs de u', t^, v/^ r* qui vérifient réqaation /(u, v, u?, r)ea*o; ce qui exige que les coefficients de ces quantités soient nuls; par suite, on aura

Aiii + Wvi + B'wi + Cn = o, Wui + k'Vi + BiTi 4- CVi = o, B'tti + B»! + A"ii?i + C'Vi = o,

Ctii + C't7| + Cioi + Fri = o.

En éliminant tii» Vi, iti, n, il viendra, pour la condition cherchée^

974. Trouver^ en coordonnée cariisienneSf Piquation de la êurfaee f(u, r, ic, r) = o.

Soit (u\ t', w\ r') un plan tangent dont le point de contact est représenté par

Si on désigne par x, y, z, f les coordonnées cartésiennes de œ pointai on a aussi

tix + t?y + u>z + rf ==s o.

En identifiant ces équations, on arrive aux égalités

d*où on tire, en représentant par k la valeur commune de ces rapports,

Ati' 4- B"v' + Ww' + Cr' - *x = o,

B"ti' + A'v' + Bit' + CV — Ay = o,

WW + Bo' + A"ti?' + CV -. kz = o,

Cu' + C'»' + C V + Fr' - *( = o.

De plus, le plan (uVirV) passe par le point ux-^-vy -^-wz + rt^^ o, et, par conséquent, on doit avoir

u'x + v'y 4" w?'^ + '■'^ = o« Éliminons ti% t;% it?', r', k\ on trouvera Téquation

qui sera satisfaite par les coordonnées cartésiennes d'un point quelconque de la surface de seconde classe; c'est l'équation demandée. Comme elle est du second degré, les surfaces de seconde classe sont aussi du second ordre.

Il s'ensuit que le point iu-\'mV'\-nu)'\-fr=iO appartiendra i la surfilée /*(«, t;, tr, r) = o, si on a la condition

97" 5. Étant donnée V équation en coordonnées cartésiennes flx^y^Zjt^o d'une surface du second ordrcy trouver l'équation de la même surface en coordonnées tangentielles.

Si on exprime que les équations

tix + ry + M7« -|- '*' *== ^»

représenlent le même plan, on trouve les égalités

/«' l9f Inf A' .

d*où on

déduit

Ax' + B'y + B'«' + C%' -

-ftUB^o,

B"x' + Ay 4- Bz' + ce -

-&V = Oy

BV + By' + A' V + C"«' -

-Aw = o,

C»' + cy + c"«' + Fr -

• kr^^o.

On arrive à Téquation demandée, en éliminant «% y', z\ i\ k entre ces équations et ax' + vy' + trz' *f- rt' = o;]ce qui donne

Il en résulte qu^un plan représenté par /x + my -j' nz -j- P' ==^ o touchera la surface /"(x, y, 2, t) = o, si on a la relation

Remarque. Les équations qui précèdent se rencontrent souvent avec des coe£Bcients i doubles indices. On part de Téquation

0ii^*+«*«y*-j-asïJE'+a44<*-j-2Oj,xy+îai3Xz-)-2aux(+2aijiy2+2ai4yl-^2OM2^— 0,

dont le discriminant a pour expression

A= an an au au

ati a«i asB at4

asi as« ass as4

a4i aa a4s 044

En développant, on trouve :

A = aiia9ias8a44 4" 2aiiaa8as4as4 -{- 2astai3ai4a84 4- 2a8saisauat4 -{-2a44<'i8aisaii — attas8ai*4 — aiia83as'4— atiaisa^4— aiia44aA — anaiiaiS

— a8sa44ait + af^af^ -|- ai\as*4 + aftaf* — 2aj8a«4aisa84 — 2aiflas4as8ai4

— 2afiai4ai8as4*

L'équation de la surface en coordonnées tangentielles est donnée par

au a^% ai8 au

ail ats at8 ou v 081 asfl a88 084 tr

Si on développe ce déterminant, on trouve que les coeflBcients de ti*, r' etc. sont les dérivées de A prises par rapport aux coefficients an, ait etc. Nous les désignerons respectivement par An, Âtt» Assy A449 aAity 2Ais> 2A14, 2Ats, 2At4> 2A84; l'équation précédente peut s'écrire

AnU*+Att»*+A88io*+A44r'+2Ai«iit?+2Ai5titiH-2Ai4iir+2Ai8rw4-2Ai4i?r+2A84trr

Par exemple^ pour la surface

Ix* + my* H- itz* + pi^ == o,

on a : à = Imnp. L'équation en coordonnées tangentielles s'obtiendra en prenant pour coefficients des carrés u', v' etc. les dérivées de A par rapport & /, m, n, p. On trouve ainsi :

mnpu* -j- Inpv* + Impto^ + Imnr* = o, ou bien,

%7%. Trouver l'éqiuUion du pâle d'un plan {uVu/r') par rapport à la surface f(u^ v, w, r) =s o.

Soit {u"v"v>"r") un plan qui rencontre le premier suivant une certaine droite D. Les plans tangents & la surface menés par cette droite sont déterminés par Téquation

Supposons que la droite D soit tangente à la courbe d'intersection du plan (tiV«7V) avec la surface; les plans tangents qui passent par cette droite vont coïncider, et l'équation précédente admettant des radoes égales, on aura la relation

(u"U + ^"/ï/+ «'"A+ '•'%)•- 4/'(«'i t>', «', rO- A»*"» ^'^ «'"^ ^') = <>• Il en résulte que les coordonnées d'un plan quelconque passant par une tangente i la conique d'intersection du plan (tfVioV) vérifient l'équation

(ufu, + »/î, + wfi, + rfi)^ — 4/(ii, V, u?, r) ./(t«', v', w\ r') = o.

Parmi ces plans, il y en a qui sont tangents k la surface et pour lesquels f[u, v, tr, r) = o; donc» ils passent par le point représenté par l'équation

Ainsi* les plans tangents h la surface suivant les points de la conique d'intersection du plan fixe (ti'vW) passent par un même point; c'est le pôle de ce plan par rapport k la surface ou le sommet du cAne circonscrit ayant pour base le plan donné.

Si on ordonne par rapport k u\ v', n>\ r', l'équation du pôle peut encore s'écrire

%17. Trouver V équation du centre de la surface f[Uy v, w, r) = o.

Le centre d'une surface du second ordre est le pôle du plan k l'infini; or, si un plan u'x -f* t/y + w'z -\-r't = o rencontre les axes à Tinfiai^ on a : 11' = Oy t;' = o, ti?' = o; l'équation du pAle de ce plan se réduit a

ff = o, ou bien, Cm + C'v + C"tr+ F = o.

Il s'ensuit que les coordonnées cartésiennes du centre de la surCacc /][ii, e, to)Bso sont les coefficients de ti, v et u; divisés par — «aF.

Lorsque Ca>o, G' =30, C'sbo, le centre coïncide avec l'origine; par saite, Téquation tangcntielle des surfaces de seconde classe rapportées & leur centre sera de la forme

Ail» -|- A'»* + A"w* + 2Bvw + 2B'uw -4- 2B"uv + F = o. Si F = o» le centre est k l'infini, et l'équation Ati«+ AV+ A"u?*+ 2BVW+ 2B'u?w+ 2B"t«w+ 2C11+ 2C'o+ zC'w = o

représentera une surface dénuée de centre. L'équation homogène

Au* -f A'»« + A"u?» + 2Bvw -f 2B'ww + 2B"uv = o

définit une surface de seconde classe qui se réduit à une conique plane; caria condition du N" 275 est satisfaite.

%7ê. Considérons maintenant l'équation générale du second degré entre les coordonnées tangentielles tétraédriques

F(A, B, C, D) = auA* -f o„B« + 08,C* -h a^P* + 20uAB + 2ai jAC + 2ai4AD + 2a«sBG + 2a«4BD -[- 2as4CD =: o.

On sait que A, B, C, D représentent les distances d'un plan mobile a quatre points fixes

elles sont respectivement égales aux polynômes U, V, W, T divisés par ^u*4~^' + ^'* 1^ s^ensuit qu'en substituant aux coordonnées leurs valeurs, la fonction F sera du second degré en ti, 1; et te;; l'équation précédente détermine donc une surface de seconde classe qui peut être quelconque puisqu'elle renferme neuf paramètres arbitraires. En répétant les raisonnements qui précèdent, on verra facilement que le point de contact d'un plan tangent (A'B'C'D') est réprésenté par l'équation

AF;, + BF;, 4- CF; + DFi, = o ou bien,

AT; + BT,' + CTo' + D'Fi = o.

Lorsque le plan est quelconque^ la même équation représente le pôle de ce plan par rapport & la surface.

979. ÉtafU donnée tiqutUion tangentielh F (A, B, C, D) = o d*une êurfaee de seconde classef trouver son équation en coordonnées téiraé' driques.

Rappelons-nous que Tëquation d'un point dont les coordonnées distances sont Ao, Bo» €«, Do est de la forme

Ao . , Bo „ , C# , Do .

Exprimons que ce point coïncide avec le point de contact représenta par

AFi, + BF,', + CF; + DFi, = o

il viendra les égalités

A/ ri, to, ^__ r»,

Ao Bo Go Do ht hf As A4

D'où on tire, en remplaçant les dérivées par leurs valeurs et en égalant chaque rapport k k^

an A' -{- aiiB' -f OizC + auD' — jfc ^ == o,

a,iA' + attW + awC + o«4D' - A .- = o,

a,iA' + asf B' + owC + a^J^' — * ^-^ == o,

04I A' + a4tB' + a4iC' H- 044D' — fc -? = o.

De plus, on a aussi

Al ht 'As ' A4

Éliminons A% B'i C^ D% A entre ces équations, et remplaçons les coordonnées distances A», Bo, Co, Do par A, B^ G, D. On aura pour réquatioQ demandée

On «41 an ai4 7-

B du (Ht Ots OtA 7-

«Si «si «58 as4 T-

B ht

As D A4

9§0. Étant donnée Véquaiion F (A, B, C, D) == o d*une surface du second ordre en coordonnées distances, trouver son éqtuition en coor* données tangentielles.

Le plan tangent en un point (A'B'C'D') de la surface est représenté par

AF;, + BF,', + CFi, + DF„', = o.

D'un autre cAté, si on désigne par Ao, Bo, Co, Do les coordonnées tangentielles de ce plan, son équation peut s'écrire

En identifiant, on trouve les relations

OÙOD

déduit

iiA'

uD'-

, A« 'hl

fC r-==0,

«SI A' + a«B' + fl„C' + ot4D' — ik "- =

«41 A' + «4tB' + a4«C' + a44D' — * ?ï = o.

De plus, on • aussi

A| ht As A4

Si on supprime l'indice aux coordonnëes tangentielles, on trouve, en éliminant A', B% C, D', k, Tëqualion

Oit Ois ai4 7-

«11 Ott û« Ot4 7~

asi dit dis diA T*

9S1 . TVouoer Véquation du centre de la surface de seconde classe F(A,B,C,D) = o.

Soient A', B', C^ D' les coordonnées d'un plan passant par le centre de la surface; menons deux plans tangents parallèlement au plan (A'B'C'D'). Si A est la distance de l'un d'eux au centre^ les coordonnées A'-f-A, B'+A, C' + A, D' + A doivent satisfaire i l'équation tangentielle F (A» fi, G, D) «^ o. On aura donc

ou bien, en développant,

dette équation du second degré détermine les distances au centre des plans tangents parallèles & (A'B'C'D'); or, ces distances sont égales et de signes contraires; par suite, on doit avoir

Le plan (A'B'C'D') mené par le centre étant quelconque, l'équation de ce point sera

f:+f.'4-Fc'+Fo'=o.

§ 3. surface inscrite et circonscrite a un tétraèdre, a un quadriutérb gauche; surface conjuguée a un tétraèdre.

989. Surface circonsctrite au tétraèdre. Si réquation générale F (Ay B, G, D) = G représente une surface passant par le sommet où aboutissent les faces E^ G, D^ elle doit être satisfaite en posant B «= o, G=3 09 D = o; par suite, le coefficient an sera nui. De même, si elle passe par les autres sommets, on aura aussi ass = o, ass «= o, 044 = o. L'équation de la surface circonscrite au tétraèdre ne renfermera que les produits des coordonnées et sera de la forme

OitAB -(- aisAG + OuAD -f a»BG + a^BD + auCD = o.

L'équation en coordonnées tangentielles de la même surface sera (N* 280)

ait

ais

ai4

A Al

ati

ai4

ttst

ast

az4

Si on applique l'équation générale du plan tangent, on trouvera facilement pour les plans tangents à la surface aux sommets du tétraèdre

FI=:o, F.' = o, Fc = o, Fo' = o.

On peut démontrer qu'ils rencontrent les faces opposées du tétraèdre suivant quatre droites qui appartiennent à un même hyperboloïde. En effet, ces droites sont représentées par les équations

(i) A=ao, a||B-}-o^5C + fl^t4D=o;

(a) fi =s Oy Of |Â -[- ot»C + af4D = o ;

(3) C = o, ttnA4-08tB + «54D = o;

(4) D==o, a4iA-|-a4tB + a4BC = o;

nous allons voir que toute droite qui rencontre trois d'entre elles rencontre aussi la quatrième. Les équations simultanées

aiiB + ««bC + ai4D — iA = o, Of |A -|- atsC -|- ai4D — (xB =» o,

où A et fx sont des coeflBcients indéterminés^ définissent une droite quelconque qui rencontre les deux premières. Exprimons qu'elle rencontre la troisième, en égalant à zéro le déterminant des équations (s) ®^ (3)> il viendra

— X ais

ai8 au

o« — fJt au au

an Osi

= 0, ou

— A ait

atA

— fx atA

Osi flsi

as4

Mais cette équation exprime aussi que la droite (5) rencontre la droite (4), comme il est facile de s*en assurer en égalant à zéro le déterminant des équations (4) et (5). Il en résulte que l'hyperboloîde engendré par une droite qui glisse sur (i), (2), (3) renfermera la droite (4).

tSS. Surface inscrite au tétraèdre. Si les faces du tétraèdre de référence sont tangentes à la surface de seconde classe F(Ay B, C, D) =» o, cette équation doit être vérifiée par les coordonnées de chacune d*elles, c'est-à-dire, lorsque trois des quantités A, B, C, D sont nulles; ce qui exige que les coefficients an, ati, oss, 044 des carrés des variables soient égaux à zéro; par conséquant, l'équation tangenlielle de la surface inscrite au tétraèdre sera

aitAB -f aisAG + OuAD + assBG + at4BD + auGD =» o.

La même surface sera représentée en coordonnées distances par l'équation (N» 979)

ait

att

Oïl

Oit

Ott

Oii

Les points de coatact des faces sur la surface auront pour équations P;=.o, F: = o, Fc' = o, F.' = o; de sorte que les droites qui joignent ces points suz sommets opposés du tétraèdre seront définies par les équations

(i') A = o, o„B + o„C + aMD = o; (2') B = o, OtiA + dijC 4" o«D = 0; {3') C = o, a„A + o,iB4-a,4Ds=o; (4') D=o, o«iA-l-o«B4-(i„C = o. Si OD reprend la démonstration du numéro précédent, on arrivera !i ce résultat, que les quatre droites (i'), (2'), (3'), (4') appartiennent k un même byperbololde.

M4. Surface circonscrite d un quadrUatère. Soit a^ un quadrilatère gauche dont les plans des angles sont représentés par

Ces plans forment un tétraèdre dont les arêtes différentes des c6tés sont les diagonales du quadrilatère. L'équation générale des surfaces du second ordre passant par les côtés du quadrilatère gauche sera de la forme p. ^

AC + iBD = o

où > est un paramètre arbitraire. Eq effet, elle est satisfaite en posant

Abo, B==»o;

Cc=o, P=o;

par suite, les droites d'intersection de ces plans ou les côtés du quadrilatère appartiennent à la surface. Il n'en est pas ainsi pour les arêtes "•li ^ V^^ proviennent de Tintersection des plans A et C, B et D; car Fëquation n'est pas satisfaite en posant

Bs=o, Ds=o. •

D'ailleurs, assujettir une surface à passer par ces droites, c'est l'assujettir à passer par les sommets du quadrilatère et un autre point de chaque côté afin que les droites aient trois points communs avec elle; il en résulte que la surface satisfait & huit conditions et Téquation précédente, qui renferme pn coefficient indéterminé, sera l'équation la plus générale des surfaces passant par les côtés du quadrilatère.

Les équations du centre de la surface sont

d'où on tire

ou bien^