G AD A AB
ah c d ' cC — aX = o, rfD — 6B = o,
Al A3 Ai hi
Ces deux équations sont satisfaites par les coordonnées des milieux des diagonales et représentent la droite qui joint ces points. Donc, le lieu des centres des surfaces du second ordre circonscrites d un quadrilatère gauche est de la droite qui passe par les milieux des diagonales.
Si A = o, B = o, C==o, D=»o représentent les sommets du V quadrilatère ct^5y l'équation tangentielle
AC+/BD = o
définit un système de surfaces passant par les côtes du quadrilatèrcf; car tout plan mené par les points A =a o, B = o est un plan tangent, et, par suite, la droite a^ est sur la surface; de même pour les autres côtés. L*équation du centre est de la forme
quel que soit A, il appartiendra à la droite des points C-{*A = o, B-|-D = o, c'est-à-dire, à la ligne qui réunit les milieux des diagonales.
fSS. Surface eonjtyuée au tétraèdre. On dit qu'un tétraèdre est conjugué à une surface du second ordre, lorsque chacun de ses sommets est le pôle de la face opposée par rapport à la surface. Supposons que la surface représentée par l'équation F(A, B, G, D)t=o soit conjuguée au tétraèdre de référence; on sait que l'équation du plan polaire d'un point (A'B'G'DO est de la forme
A'F: + BT; + CTc' + D'Fo' == o ;
si le point coïncide avec le sommet (A^ o, o, o), elle se réduit à
F^'=bo, ou aHA-j-aitB + ai8C-l-auD = o.
Mais, le tétraèdre étant conjugué à la surface, ce plan doit coïncider avec la face A=so; par suite, on aura ait = o, 043=^0, 0143^0. En exprimant que les plans polaires des autres sommets sont les faces opposées, on trouvera an = o, atA == o, au = o. 11 en résulte que réquation de la surface rapportée & un tétraèdre conjugué sera de la forme
OnA» + awB» + assC» + a^éD* = o.
Le plan tangent en un point (A'B'C'D') sera représenté par
aiiAA' + auBW + assCC + 044DD' = o.
Soient pi, pi, pz, p^ les coordonnées tangentielles de ce plan, on aura aussi
api A + ftp«B + cpsC + dp*D = o.
Si on exprime que ces équations représentent le nléme plan, il
viendra les égalités
an A' asiB' a»C' aiiD' api (ps rps c[p4
En y ajoutant la relation
opiA' + 6pjB' + cpsC + rfp4D' = o,
et en éliminant A', B', C% D% on trouve
au * a» ' ass 044
Ainsi, réquation en coordonnées tangentielles de la surface conjuguée au tétraèdre de référence sera de la forme
«iiA» + «jiB» + ajjC* + «440» = o,
les coefficients olu, an, ass^ «4« étant déterminés par les équations
9S6. Déterminer le genre de la surface représentée par l'équation aiiA» + «mB* + «35C' + 044D' = o.
Formons d'abord les équations du centre; ce sont :
ciiiA (ii«B azzC (I44D a 6 c d '
d'où
a b c d ** I ^* I ^* I ^* au ait ass au an ais ass a44
Supposons d*abord que Ton ait :
a», 6« c« , iP <
an au ass 044 >
la surface aura un centre à une distance finie. Si deux coefficients sont négatifs, comme dans Féquation,
ajA» — aJB» + aJC» — oîD« « o ,
on peut écrire
(aiA + o«B) (ai A — atB) + (asC + a4D) (asC — a4D) = o.
Posons
Tj ^ a^A -|- aiB| Tj a» ai A — cfiB) T» = asC + 04D, T4 = OsC — ttiD ; rëquation précédente deviendra
TiT, + T»T4 = o.
On y satisfait par les deux systèmes suivants :
Ces équations définissent deux systèmes de droites qui appartiennent
h la surface. Il en résulte que Téquation proposée représentera toujours
un hyperboloïde à une nappe, si deux coefficients sont négatifs. Les
génératrices sont imaginaires, lorsque Téquation renferme un ou trois
termes négatifs; la surface est alors un ellipsoïde ou un hyperboloïde
à deux nappes suivant que le plan à Tinfini donne une section imaginaire
on réelle.
La surface est dénuée de centre, si 1 U — -1 = 0; ce
an ' a%% ' Oss 044
sera un paraboloïde hyperbolique, lorsque deux coefficients seront négatifs, et un paraboloïde elliptique dans tous les autres cas. Enfin, si l'un des coefficients est nul, on a une équation de la forme
aiiA* -|- attB* + ass€* a o ;
la condition du N* 2fi4 est satisfaite et la surface sera un cAne dont le sommet coïncide avec le point d'intersection des faces A^ B, C du tétraèdre.
987. Lorsque deux tétraèdres sont conjugués à une même surface du second ordre^ toute surface du second degré passant par sept sommets passera nécessairement par k huitième.
Soient a, 6, c, d; a% 6% c', d', les sommets de deux tétraèdres conjugués à la surface
/A» + wB» + nC + pD« = o,
Aa»o, Beao, C>=3 0, Dsso, étant les faces opposées aux sommets
a, b, c» d. Si on désigne par aiaïasoi» ^ij3t|3B|34, yiy%yiy4, Sti^iié les coordonnées des points o'i 6'^ e^ d'f les équations des faces du second tétraèdre ou les plans polaires des sommets seront de la forme
A' = lAoLi + mBoLt + 'ïCas + pDai = o, B' — /APi + mB|3, + fiCp, +pDi34 = o, C = lAyi + mByi + '•^y» + P^* =* ®» D' = {A^i + mBdt + nC^B + P^* = ^9 avec les conditions
/«iPi + «tat/3i + nat^s + pa4l^4 = o, loLtyi + tnaiyi -|- nasy» + ^««74 = o, fci^i + «t«i3i + najds + pa4d4 = o, Jpiyi + »ii/3f7« + wjSsys + p^4y4 = o,
lyiii + fwyi^f + nyzSz + p/é^i = o,
qui expriment que le plan polaire d'un sommet passe par les trois autres.
Considérons une surface du second ordre circonscrite au tétraèdre a'b'&d' et représentée par l'équation
a, A'B' + atA'C + a, A'D' -f a4B'C' + ajB'D' + aeC'D' = o.
En substituant à A% B% G', D' leurs valeurs, les coeflBcients des carrés des variables A^ B, C, D dans la nouvelle équation seront
P (aiaiPi -f- «««171 + "»*»^» + cciPiyi + a»PiJi + aeyi^i),
m* (oiai^ + Otajys + ajatJj -j- a4Pjyf + 05(81^1 + aeyt^,),
n* (oiasPa + «««sys + asas^B + «iPsy* + ûfPs^s + aeyj^s),
p* {a^aj^é + ata4y4 + a8a4^4 + a4Î34y4 + (18134^4 + a«y4d4).
Pour simplifier, nous représenterons par Si, Sf, Ss, S4 les polynômes des parenthèses. Si on multiplie les équatfons (k) respectivement par ai, ttt, Os, Gaj asy 06 et si on les ajoute membre & membre, il vient
(fc') fôi + mS, + nSs + pS4 = o.
Or, dans l'hypothèsç où la surface circonscrite à a^hYd' passe par
trois sommets du premier, trois des coeflSeients Si, Si, Ss, S4 sont nuls; la relation précédente montre que le quatrième sera aussi égal à zéro; donc, la surface renferme le huitième sommet.
Réciproquementi si on a l'identité (&'), c'est-à-dire, si toute surface du second ordre passant par sept sommets des deux tétraèdres abcd, a'Vc'd' passe nécessairement par le huitième, ces tétraèdres seront conjugués i une même surface du second ordre; car, si on ordonne la relation (V) par rapport aux paramètres ai, ai, as, a4, a^j ae, les coefficients de ces quantités seront nuls, puisqu'elle est satisfaite quels que soient les paramètres. On trouve ainsi les équations {k) qui expriment que le plan polaire de l'un des sommets a', 6% c', d' par rapport à la surface /A* + mB* + «C* + pD*= o renfermq. leS" trois autres; donc les deux tétraèdres sont conjugués & cette surface. Ainsi, lorsque huit points sont tels que les surfaces du second ordre menées par sept d^entre eux passent nécessairement par le huitième^ ces points partagés en deux groupes abcd^ aVc'd* sont les sommets de deux tétraè* dres conjugués d une même surface du second ordre (Hesse).
9§S. Si on suppose que les équations précédentes renferment les coordonnées taDgentielles, on arriye aux théorèmes suivants :
Toute surface du second ordre tangente d sept faces de deux tétraèdres conjugués à une même surface du second ordre touche nécessairement la huitième.
Réciproquement, si huit plans, tels que toute surface du second ordre tangente à sept d'entre eux touche le huitième, sont partagés en deux groupes de quatre plans, ils formeront deux tétraèdres conjugués à une même surface du second ordre.
