CHAPITRE XIII

rHÉORÈMES ET EXERCICES SUR L.ES SURFACES DU SECOND ORDRE, UIEUX GÉOMÉTRIQUES.

§ 1. THÉORÈMES ET PROBLÈMES (COORDONNÉBS CARTÉSIENNES). «. Trouver la eondition pour que le plan l« -{-my-^- tu ^p=o tonehe la

flj* y* z*

.nrface -+- + -=1.

t. Quelle est la longueur de la normale à Tellipsoide comprise entre son pied et le plan des ay?

Les ëquatioQs de la normale sont

X — «' y— y' ar — «'

pour le point où elle rencontre le plan «y, ;s = o et X = — c" ; par suite

En âerant an carré et igontant, il rient pour la longnenr jebAvbée

S. Trouyer un point de l'ellipsoïde tel que le plan tangent en ce point intercepte des longueurs égales sur les axes.

«* *' «" ya*+b*+y

4. TrouTcr Téquation du plan mené par la normale au point (o/y's') et le centre de l'ellipsoïde.

tt. Liea du pied de la perpendiculaire abaissée da centre sar le plan tangent h Pellipaoîde.

hoient 0, yi g^ les coordonnées du pied de la perpendiculaire P. On aura

. = P.^, y^P»^, * = P*$» P« = «« + y« + *«; d*oi^ on déduit pour le lien cherché

oV + 6V' + c'2" = («• + y* 4- 2">".

•. Trois droites rectangulaires issues d*un même point restent tangentes i une surface du second ordre; trourer le lien de leur point d'intersection. Soient

g — a/ y — y' t — *' « — a/ y — y'.^*~*' « — as' y — y^ z — z'

trois droites rectangulaires issues du point (s'y V). Si on substitue dans l'équation

les expressions « = «' + >p, y = y' + /Ap, if = »' + v/j, on trouve

La condition pour que la première droite soit tangente k la surface sera

On ton aussi pour les deu autres droites

/iV /y' /»'\' /«" , y", *" \ /y , /• , ^\

\l?"^-v!~+-îiJ-\y+ji+-?-^J\p+T^+-?)'

V^ o* ^ 6« ^ «• / V^o» ^ <-• ^ e« /\a* ^ I,* ^ c* J Ba igootant membre & membre ees équations, il viendra ponr le lien cherché

•ir + -6i + 5' = Vii-+6r + F- V \^?+îi + ?j'

on bien

(&» + c») «'• + (o" + c«) y'« + (o» + 6») »'■ = o«t« + oV + 6M. Cest un ellipsoïde concentrique i rellipsoTde donné.

Si la surface proposée est le paraboloïde

P 9 on trouve pour le même lieu un parabolofde de révolution représenté par Téquation

V. Trois droites rectangulaires issues d'un point se déplacent en s'appuyant sur une conique donnée; trouver le lieu de leur point commun. Soient

les équations de la conique donnée. Si on eiprime que la droite rencontre la conique, on trouve Téquation

Mais, pour la rencontre de la droite et de la courbe. 2 = 0 et p = • Si on

remplace p par cette valeur» Téquation précédente devient

On aura aussi pour les deux autres droites

Si on ajoute ces égalités membre à membre, on arrive à l'équation

Le lieu demandé sera un ellipsoïde, si la conique est une ellipse; ce sera un fayperboloîde k une nappe ou à deux nappes, si la conique est une hyperbole ; enfin, quant la courbe donnée est la parabole y' — 2px := o, le lieu est le paraboloïde de révolution

y" + «* = 2px,

•. Trois plans rectangulaires touchent le périmètre d*une conique ; trouver le lieu de leur point d'intersection.

Soient

(» — *') C05 A + (y — y') cos /3 + (« — «') cos y = o,

les éqaations de la coniqae et de Tan des plans passant par le point {œ^y'g'). La trace de ce dernier snr «y ou la droite

« cos a -j- y cos /S — (x' cos « + y' cos ^ + 2' cos y) ac o

OËSB» VU m

doit eoiacider avec la tangente ~i-~1~Ar'~'^^> P^ ^^> ^° ^^''^ ^^ relations

a cos a s= («'cos a -f y'cos /9 + y cos y) — , 6 cos /S = (»'cos a + y'cos /5+«' cos y)-7i •

On en déduit

(«' cos a -|- y' cos /J + «' cos yf = o* COs' a -4- 6* cos* /S.

On aura aussi pour les deux autres plans rectangulaires passant par le point (tt^y^%') et s'appuyant sur la courbe

(«' cos «' + y' cos /S' + js' cos y*)" = a* cos* a' + 6" cos* ^% («' cos a" + y' cos j3" + «' cos /')" = o" cos* «" + A* cos* ^".

En ajoutant ces équations membre à membre, on trouve que le lieu demandé est la sphère représentée par Téquation

ar'« + y'«4.z'*=ra* + 6*.

Si la courbe donnée était la parabole y* — 2p» = o» le liou serait un plan passant par la directrice et perpendiculaire au plan des ary.

X* y* 2* •. Le plan polaire d'un point («s'y'*') par rapport à la surface -i+y^H — î= '

ft* 1/* 2* reste tangent à une autre surface -;; + ^ + -%= i ; trouver le lieu du pôle (9^y'tf)>

En identifiant les équations

"?■■*■ 6* "^ ■?■—'» a'«"^"5^"^7î~'' on arrive aux égalités

-=:ÎL yl^ïl - — II.

0* a'*' 6* 6'»' c* c'«' en éliminant x%j yi, ^bi, il viendra pour le lieu cherché

f •• Lieu des centres des sections faites dans une surface du second ordre ptr les plans menés à une distance p de Torigine. Soient

«cos« + ycos/i-f *cosy=p, 1 + ^+1. -ri

les équations du plan sécant et de la surface. Le centre de la section appartient au plan et au diamètre qui lui est conjugué; les équations de ce dernier sont

a* C08 a 6^ cos ^ c' cos y

L'élimination des cosinus entre ces égalités et Téquation du plan sécant nous donne pour le lieu cherché

11. Lieu des centres des sections faites dans une surface i centre par des plans passant par un point fixe.

IL *(,«)+ y (y-p)+l(ar-y) = o;

"i p9 y font les coordonnées du point fixe.

it. Si on désigne par a, j8, y les angles avec les axes d*une normale à un plan

passant par le centre de Tellipsoidey Taire de la section faite par ce plan aura pour

^rafte expression •

|/o' cos* a + 6* cos*^ + c" cos* y En effet| a' et V étant les axes de la section, et P la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent parallèle au plan sécant, on aura

a'6' . P = abc; d'où

TftUte

wa'ft'rr:

y^a* cos" a + 6* cos" /i + «* cos* y

IS. Si psr un point de l'ellipsoïde on mène trois droites rectangulaires quelconques, le plan qui passe par les points où les droites rencontrent la surface coupe la normale relative à ce point en un point ûxe*

L'équation des surfaces du second ordre, lorsque l'axe des z coïncide avec la normale a l'origine, est de la forme

car en posant ;r = o, elle doit représenter deux droites réelles ou imaginaires, le plan des 9y étant tangent à la surface. Si on passe à un autre système d'axes de même

origine, Tëqnation précédente deriendra

/ (or' + 6y' + c«')" + w («'•' + h'y' + o':?0* + « («"»' + *"y' + c"^')' + p («»' + 6y' + «') (oV H- 6'y' + </«') + 9 (a"»' + i^'y' -h c";?') = o.

Soient /, y, h les longueurs interceptées sur les axes nouveaux par la surface ; on aura

/ (la* + ma** + na"" + oo'p) 4- «"7 = o,

A (le* + me" + fic"« + «/p) + c"ç = o.

Le plan mené par les exCrémités des longueurs f, y, h sera représenté par .

OU bien, avec les coordonnées primitives, par

a«4-o'î/4-»"* bx-\-l/y-\-b''z ex -\- c'y -\- e^^z

En posant y = o, x = o, il vient

/o" 6" c"\ «I --4----+— j = I, ou z(l + m + n)=:-^q,

en égard aux relations (a). Donc le plan rencontre la normale en un point fixe.

14. La somme des carrés des aires des parallélogrammes construits sur trois diamètres conjugués pris deax à deux est constante.

Soient («i/S,/), {a'^P',/), (^'^jS^Sy") les angles d*un système de diamètres conjugués (a% b\ e') avec les axes. On a

sin" (6V) =: (cos /^ cos y" — cos /9" cos y')* + (co« y' co* «" — cos /' cos a')*

+ (cos a' cos /3" — cos «" COS /3')*.

HaiS| si on désigne par x"| y'% 2^" les coordonnées de Textrémité du diamètre 6', on sait que

a" = 6' cos a' = a cos >', y" = 6' cos ^' = 6 cos ;«', »" = b^ cos •/ = c cos v' ; d'où

cosa'= — cosV, cos ^' =: — cos /x', cosy' = — cosv'.

On aura aussi

cos « =: —, cos i, COS 5 = -7 COS tt, COS y = -7 COS v ;

COS «" s= -7 cos >", COS ô" = -7 cos m", cos y" =: — cos v", c ' ' c ' 0'

Ces différentes relations conduisent aui égalités

[6V sin (6'c')]»= 6V (cos / cos »" — cos /' cos v')* 4- aV (cos v' cos A" — cos v" cos X'f

+ a*b* (cos y cos fi" — cos X" cos /»')• ;

{o'c' sin (o'c')]" = 6V (eos /i" cos v — cos /u cos »")' + <»*c* l^^ v" cos X — cos > cos i")*

+ o"6" (cos X" cos fi — eos /' cos X)* ;

[a'b' sin (a'6')]* = b^c* (cos /*' cos v — cos /* cos v')* -|- oV (cos » cos X' — cos v' cos X)*

+ a«6« (cos X cos /t' — cos X' cos /«)••

Si on ajoute ces équations membre à membre, on verra facilement que les coefficients de 6'c', a'c*, a'6' dans le second membre sont les carrés des sinus des angles des directions (X, /k, v) ; ils ont pour yaleur Tunité puisque ces directions sont perpendiculaires. Donc, il Tiendra

[6 V sin (6V)]« + [a'e' sin (aV)]» + [o'6' siu (a'6')l« = 6V + aV + a*b*.

flft. La somme des carrés des projections de trois diamètres conjugués sur une ligne fixe est constante.

Réprésentons par a, ^, y les angles d*une droite fixe avec les axes, et par c', y', z' les coordonnées de Textrémité du premier diamètre a\ La projection de a' sur la droite est «' cos a -|- y' cos j3 -[- z' cos y, ou bien

a cos X cos « -|- ^ cos /u cos /S -j- c cos y cos y. On aura également pour les projections de 6' et c' sur la droite fixe

a cos X' cos a -|- 6 cos /a' cos /S -{- e cos v' cos y, a cos X'' cos a -}- 6 cos /t" cos /i -|- '^ oos v" cos y.

Élevons ces expressions au carré et faisons ensuite leur somme : il viendra

o* cos" a + 6* cos" ^ 4- c* cos" y, quantité constante.

!•. La somme des carrés des projections de trois diamètres conjugués sur un plan est constante.

Soient A, fi, C les projections de a', h' y e^ sur une perpendiculaire au plan fixe, et Al, Bi, Cl, leurs projections sur ce plan; il viendra

a't = A« + A,«, Ô'" = B« + B4«, c'« = C" + C,«; par suite,

On en déduit,

A|' + Bj«H-C,«c=o« + 6" + c«— (a"cos»a + 6«cos"/8 + c«cos"y)

= o* sin" a + 6" sin" /5 + c" sin" y ;

«I p9 y sont les angles de la normale au plan avec les axes.

19. Lieu da point dUntersectioa de trois plans tangents à Pellipsoïde aux extrémités de trois diamètres conjugués .

o' tr c"