Équation du cône circonscrit à 1* ellipsoïde
!•• Les cônes qui ont pour sommets les extrémités des axes de l'ellipsoïde, et qui s*appuient sur les sections principales sont représentés par les équations
(x — a)* y*ff (y — b)*m* z* (z — c)« «•^y*^
K Trouver Téquation du cône qui a son sommet au centre de rellipsoïde, et, pour base, la courbe d*intersection du plan polaire du point («', y', z^) avec la surface.
Si on désigne par«i, yi, «i, les coordonnées d'un point de la courbe d'intersection du plan polaire avec la surface, il faudra éliminer ces quantités entre les équations
X y z Xix' , yiy' , ZtZ^
On trouvera pour Téquation du cône
' TT+lT+ir-ï-
„« "1" frî "T c« ~ \^o« "^ 6« "^ c« y
•!• Les surfaces
A»« + By« + C2» = I, (A + A)»* + (B + *)y» + iC + A)i" = i
ont les mômes plans cycliques.
Ces surfaces sont représentées en coordonnées polaires par les équations
-- = A cos* a + B cos' ^ + C cos* y, •^= A cos* a + B cos* /3 + C cos* y + A.
Or, pour les points d'une section circulaire de la première, la quantité
A cos* a -f B cos* /S + C cos» >
est constante puisque r conserve la même valeur; par conséquent, R est aussi constant, et le plan cyclique est commun aux deux surfaces.
ts. Deux cercles appartenant aux deux systèmes de plans cycliques se trouvent sur une même sphère.
Dans l'ellipsoïdei deux plaQS parallèles aux sections circulaires ont des équations
de la forme
ea multipliant membre a membre^ on trouve
Mais, d*après l'équation de la surface, on >i4"t = i~riî P^ ^^^^> Pégalité précédente devient
55 =i + yA.
et les sections eirtulaires se trouvent sur eette spbère.
•S. Par le centre de Pellipsoïde on mène des plans qui coupent la surface suivant des ellipses d*aire constante; trouver le lieu des normales à ces plans menées par Torigine.
On sait que Paire d'une section centrale a pour expression
ttciAa
l^a* cos* a -|- 6« cos* /9 + c* cos* y
ft, /9y y étant les angles directeurs de la normale au plan de la section. ^ Paire est constante^ on doit avoir
a' cos^ « -}- A* cos* ^ -i-c* cos' y = /* (coost.).
D'un autre côté, les équations de la normale sont
cos a cos /i cos y '
le lieu cherché sera déflni par Téquation obtenue en éliminant les cosinus. On trouvera
•4. La somme des carrés des réciproques des aires des sections faites dans Pellipsolde par trois plans diamétraux rectangulaires est coDstante. En effet, on a
= a* cos* «1 + 6* cos* ^1 4- c' cos' yi,
= o' cos* «1 -|- 6* cos* /3i + «* cos* yt,
= o* cos* «5 + A' cos* fLi + c* cos* y$,
Ko faisant la somme de ces équations, on trouve
9ft. Trouver le lieu des intersections, avec le plan des sy, des normales menées aux points où le plan z=zk rencontre Tellipsoîde. Il faut éliminer m' et y' entre les équations
Le lieu sera Tellipse représentée par
+ 777Î Tr« = i-
••. Lieu du point d*interseclion de trois plans rectangulaires tangents aux surfaces
n« "^ fc« "^ c« ' a» H- A« "^ 6« + A« "^ c« + A« "~ ' a« + A« ■*" 6« + A« "*~ c« + /*«
R. ay« + y« + 2« = o« + M + c« + *« + A«.
99. Lieu des points d'intersection des sphères décrites sur trois demi-diamètres conjugués.
Soient xi^iift, x^^z^^ x^yeZa les coordonnées des extrémités des diamètres, la première sphère sera définie par Téquation
ou bien
«* + y* + ** = **i + yVi + **i = a cos 11 • of + * cos /«i • y + c cos vt • z. Les équations des deux autres sphères seront aussi
** + y' + ^' = fl CM i» • « + ^ C08 /*« • y 4- c cos Vi • z, «* + y* 4- «* = a cos )» • OB + ft cos /*8 • y + c cos Va • r.
Si on élève ces égalités au carré, il viendra, en les ajoutant membre k membre,
3 (»« + y« -f ««)« = o»aj« + 6 V + c«««.
99. Trouver la distance entre le point de contact d*un plan tangent et son pôle par rapport à une surface homofocale.
Considérons les surfaces homofoeales
et identifions les équations
On aura les égalités
xt y' yt «' *i
at o« + A' 6« 6« + A' c* c« + a On en déduit
d'où on tire pour la distance cherchée D = - •
••• Trouver Tequation de la surface
»' V* z* fl« ^ 6« ^ c*
rapportée aux trois normales des surfaces homofocales qui passent par un point
(»'y'sO.
Si on transporte d*abord Torigine au point («'y'^'), et si on pose
«'« v'* «'* réquation proposée deviendra
Afin de passer au système d*axes formés par les normales, remplaçons tr, y, par les expressions
En substituant et tenant compte des relations
o«a'* ' 6«6'« ' eV« a'«— a«*
oV«a"« ' 6«6'«6"« ' cVV'«^(a'«— a«)(o"« — a«)'
oV* ' 6«6'* ' cV*~'(o'« — a«)« p'«ta'«— a«)'
on trouvera
K Lo lieu des points de contact des plans tangents & un système de surfaces homofocales et parallèles à un plan fixe est une hyperbole.
SI. Les sections d*un ellipsoïde par les plans tangents du cône asymptote d*un byperbolo!de homofocal ont même aire.
St. Les lignes focales du cône asymptote d*un hyperboloîde sont les asymptotes de rbyperbole focale.
SS. La somme des angles d*une génératrice quelconque d*un cône avec les lignes focales est constante.
54. Les plans menés par les lignes focales d'un cône et une génératrice quelconque sont également inclinés sur le plan tangent suivant cette génératrice.
55. La différence des distances d'un point quelconque d*une conique focale i deux points fixes d*une autre conique focale est constante.
S«. Si par une droite on mène des plans tangents à un système de surfaces bomofocales,le lieu des normales correspondantes est un paraboloîde hyperbolique.
S9. On peut mener deux surfaces bomofocales tangentes à une droite et les deux plans tangents aux points de contact sont rectangulaires.
SS. Étant données deux surfaces homofocales (a, A, c), (a', fr'^e'), on dit que deux points («, y, 2), (9% y', s'} de ces surfaces sont correspondants, si on a les égalités
a os' y y' z z'
Gela étant, 1® La différence des carrés des rayons qui joignent le centre à deux points correspondants est constante; 2® La distance de deux points situés sur les deux ellipsoïdes est égale à la distance des points correspondants.
§ 2. THÉORÈMES BT PROBLÈMES (COORDONNÉES TÉTRAÉDRIQUES BT TANGENTIELLES).
1. Trouver les équations en u, v et to des surfaces du second ordre rapportées a leur centre et à leurs axes.
Soit d*abord l'ellipsoïde
Le plan tangent en un point (ov'y V) est représenté par Téquation
««»' yy' «'
Désignons par ti, v et «0 les coordonnées tangentielles de ce plan : on aura
tt = — , « = 7^, I0=:-.
On en déduit
o»4 = — , bv = T » cw ^ — : a 0 e
en ëleTaot au carré et ajoutant, il viendra pour Tëquation de Pellipsoîde en coordonnées tangentielles
On trouverait semblablement, pour l*hyperboloïde à une nappe et l'byperboloFde à deux nappes, les équations
a*tt* + ft*i>* — c«io' = I, a*ti* — 6*«' — c»io* = I.
•. Trouver les équations en coordonnées tangentielles des deux paraboloîdes. Le parabolofde elliptique ayant pour équation
celle du plan tangent sera
yy' . zz' . . ,.
par suite
— -i -^*^ —il
On en tire
l'équation demandée sera
pv* -\- qw* os — 211.
Le parabolofde byperbolique sera représenté en coordonnées u, u et «; par Téquation
pv^ — qw^ = — an.
S. Équation d*an point quelconque de la normale relative au point de contact d*an plan tangent («Vu/) à la surface o*tt" + b^v* + c'io* = i.
R. a*uu^ + 6*«i/ 4" c'ioio' + X (wu' + w' -}" «w*) = o, où X est un paramètre arbitraire.
4. Condition pour que trois plans (uoVotffo), {utV^Wi), {u^v^w^) soient parallèles à trois plans diamétraux conjugués de la surface o^n* -f- 6*v* -}- r*io* =r x.
R. a*tt|U2 + 6Sv|t;, -f-e'fOitOj =0,
a"»o«»« + *'»o«'i + c'too^t = o>
B, Trouver Tez pression de la dislaoce entre le pied de la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent de la surface
Aa« + A'»« + A"io« + zBvtu -f aB'aw; -f aB"ti»j = H,
et le point de contact de ce plan.
En appelant a', y*, s' les coordonnées cartésiennes du point de contact et P la longueur de la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent, on aura éridemment
Mais, le point de contact est représenté par Téquation
«A*f + vfvr + tofte, — (u'/"u/ + v'f t, + wTm) = o; par suite, il viendra en posant A = u'f'uf + vY'«/ + ^*f'wty
Substituons ces valeurs dans Texpression de D*; on trouverai en supprimant les accents,
A« (fi« + v» + to«)
se* y* *' Dans le cas particulier où la surface à centre serait rellipsoîde -^ + tï + ~« = i»
cette expression se réduit à-
•. Trouver Téquation qui détermine les axes de la surface
Au» + A'f;« + A"io« + 2Bvto + 2B'i»io + 2B"m» = H.
Lorsqu'une droite menée du centre au point de contact d*un plan tangent est perpendiculaire à ce plan, elle coïncide avec Tun des nxes de la surface. Dans ce cas, les coordonnées du plan tangent satisferont aux équations
vf'u — "/■'• = o, io/'« — vf'to = 0, uf'w — wA'h = o»
puisque D est égal à zéro. Soit r la longueur de Paie ou la droite qui joint le centre au point de contact de ce plan tangent. On aura
/'m = Ax':=aU0', «' = rcos), cos> = rti,
> étant Pangle d'inclinaison de r sur Taxe des x\ on en déduit /''M = 2Hr*u. On aura aussi f'v = aHr'v, /'« = 2Hr*w.
Si on égale ces quantités aux dérivées du premier membre de l'équation proposée,
il vient
(A — r«H) u + B"» + B'io = o,
(*) W'u + (A' — r«H) tf + Bio = o,
B'tt + B» + (A" — r «H) 10 = o.
En élimiDant les Tariables, on obtient finalement pour déterminer les axes, réqualion da troisième degré relativement à r<
Afin de déterminer les angles des directions principales avec les axes coordonnés, posons r*H = «; il viendra, en développant,
(t)(A — j)(A' — t)(A"-j)-B«(A-f)-n'«(A' — #)— B"«(A"-#i-haBB'B''=a Désignons par «i, «t» 's les racines de l'équation, et posons
A -#t = «, A' — #t = a', A" — «i = o". Soit 10 =:m«, o^hk; les équations (k) peuvent b*écrire
a + B"n + B'm = o, B''-f a'fi + Bm=o,
B^^Bfi + a''m = o.
On en tire
BB' — o"B
ff
oV — B« •
mz=
En tenant compte de l'équation («) qui peut s*écrire
oa'a" — aB« — a'B'« — o"B"* + afifi'B" = O, on trouvera pour Texpression m*-{-n*-{- u
^t I „. , ^(B«^aVOH-(B-«~aa--) + (B-^«-oa-). ^ ^ — B« — oV
D*on autre côté, les égalités to = mti^ v = fi« donnent
-^•* +^ 55 -r«ii«-cosM'
par fuite, il viendra finalement
cosSl =
(B« — a'a") + (B'» — oo") + (B"« - oo^)
De même, oo aura
g W^^aa''
^* ^ (Bt - o'o") + (B'« — oa") + (B"« - aa') '
, B^« — aa'
^* " (B« - a'a") + (B'« - oo") + (B"» - ooO '
Ce 8ont les cosions des angles que fait )*ud des axes de la surfiice avec les axes coordonnés. On aurait des expressions analogues pour les autres axes. Les valeurs précédentes sont indéterminées, si on a
Bt — o'o" = o, B'«— ao" = o, B"« — ao' = o; et la surface est alors de révolution.
9. La somme des perpendiculaires abaissées de n points fixes sur un plan variable est constante et égale k nk; trouver la surface enveloppe du plan. Si les points sont représentés par des équations de la forme
Pi« + Çi« + *'iW —1=0, piU + q%v + rtto — i = o, etc., l 'équation de la surface sera
Ptw+^iv-f-rito— I Pite4-9iv + riio— z , , 1 \- =fiA;.
Vu* + «« + io« {/^jzçi^nÇw^
En appelant, o, 6, c les coordonnées du centre de gravité des n points fixes, elle peut se ramener k la forme
(A« — o«) «• + (*« - ô*) «« + (*« — e«) 10» — 2abuw — 2arufo — ^evw + aoti + 9bv + 2Cio = X.
C'est Péquation tangentielle d'une spbère.
•• Si la somme des carrés des perpendiculaires abaissées de n points fixes sur un plan variable est constante, ce plan enveloppe une surface du second ordre.
•. Un plan variable détermine sur trois axes rectangulaires des segments dont la somme multipliée par une aire constante est égale au volume du tétraèdre formé par les plans coordonnées et ce plan; ce dernier enveloppe une surface du second ordre.
En effet, «, v et to étant les coordonnées du plan, le volume du tétraèdre sera
•7- — , et si a* est l'aire constante, l'équation tangentielle de la surface enveloppe sera
\u V wj 6uvu>
ou bien
6o' (il» + tW + lOTl) = X.
!•. Un plan variable retranche du cône représenté par l'équation
^■^ft« e«""^
un volume constant; montrer que ce plan reste tangent k un hyperboloïde a deux nappes.
Ou sait que l'aire d^une ellipse est égale à ira6, a et A étant ses axes; de plus, lorsque la courbe est représentée par l'équation A»* -\-2Bxy-{-Cy*^l, le produit ab a
pour valeur 77; — ^* Si elle était définie par l'équation générale
Ax< + aBy» -{- Cy^ -\- aD» + aEy = i,
on transporterait les axes au centre, et on trouverait avec Péquatîon transformée que Taire de la conique a pour expression
7r[(A + D^)(C + E«)-(B + DB)*] ^- (AC-B«)f
Soit maintenant ux -}- vy -{- toz =z i l'équation du plan sécant; éliminons la variable z entre cette équation et celle du cône; il viendra
(^ ■" **') *' "^ (iT" - «') y* - 2«*^»y
-\-wx-\-zvy= I.
G*est Péquation de la projection de l'intersection sur le plan des xy. Par Papplication de la formule précédente, Paire de cette conique sera
ç nahew
— [c«to« — o«tt» — 6«v«]t '
Désignons par p la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan sécant, par 9 Pangle qu*elle fait avec Paxe des g, et par S' Paire de la section sur le cône. On aura
S = S' cos 6. p «M ;
d*où - =s S'p ; mais S> est le triple du volume du cône retranché par le plan sécant ; w
S ce volume est constant, et on peut supposer —égal à nabc. Si on remplace, dans Péqua-
tion précédente, - par ttoôc, on trouve
c*io* — a*»* — 6*w* = I qui définit un hyperboloïde à deux nappes. 11. Que représente Péquation
U* V* tt)«
Un système de surfaces qui ont les mêmes plans cycliques; car Péquation de ces surfaces en coordonnées cartésiennes est de la forme
(a« + >)aî« + {A« + ))y«-f (c« + i)a« = i,
et elle représente des surfaces qui admettent les mêmes sections circulaires. On les appelle surfaee$ concyeliifuei.
!•. Trois surfaees eoncyeliques sont tangentes à un mâme plan de l*espace, et les droites qui joignent le centre aux points de contact sont perpendiculaires entre elles.
En effsl, soient %\ v\ lo' les coordonnées d*un plan. Exprimons que Pëquation des surface! eoncyeliques est satisfaite par ces coordonnées; on aura
En chassant les dénominateurs, on arrive à une équation du troisième degré en X qui a toujours ses racines réelles* Soient Ai, X^ deux racines de cette équation; les surfaces
touchent le plan («'o'to'). Les équations des points de contact seront
Les coordonnées cartésiennes de ces points étant
tt' v' uf
— at + i.» ^ —6«4->,' ' -"e« + i,'
les cosinus directeurs des rayons r' et r" qui joignent ces points au centre auront pour expressions
COSa' =
vl . %}* w
eosm
' ss: • . COS /8' ■■ . COS y' =s . •
II' v' m/
COS «" = ■ ■ - ■■- . COS /S" ;^ ^— ^^— — , COS y" = ■ ' •
D'où on tire
z r •*'* o'« id'« 1
'cosa"4-cosâ'cos/8"4-cosy'cosy"= 1 1- I I
eo«a -,-cosp «»/> -t-co./ ccy r'r"[(««+i.)<«*+X.)^(6»+>,)(*»+>i)^(c»+>.M«*+>i)J
Or, si on retranche membre à membre les équations des deux surfilées, on verra que le second membre est nul ; donc les ra} ons r' et r" sont perpendiculaires.
IS. Trouver le lieu du pôle d'un plan fixe par rapport aux surfaces conjuguées à un tétraèdre et passant par un point fixe (AiBiGiDi). Soit Ik-^-mB-^-nC-^-pD^o le plan donné, et
PéquatioD des surfaces conjuguées au tétraèdre de rëféreuce. Si on identifie les équations
ait AA' + flifBB' + ^a«CC' -4- o«4DD' = o, / A + mB + nC + pD = o,
on arrive aux égalités
OijA' OMy anC 044!^ / it m "~ p '
de plus, on a aussi la relation
««Al» + OmBi» + a„Ci« + a44Di* = o.
En éliminant les coefficients Ouy an» a», 044, on trouve pour le lieu demandé
M,« mB,» nC4« PA,«
C'est une surface du troisième ordre.
14. Le plan polaire d*on point fixe, par rapport aux surfaces conjuguées & un tétraèdre et tangentes & un plan donné, enveloppe une surface de troisième classe.
tft. Le lieu du pôle d*un plan fixe par rapport aux surfaces circonscrites à un quadrilatère gauche est une ligne droite.
L'équation tangentielle de ces surfaces étant AG + XBD:=o, celle du pôle d'un plan (A'B'C'D') est de la forme
AC -f CA' + > (BD' 4- DB') = o.
Quelle que soit la valeur de >, le pôle se trouve sur la droite des points
AC + CA' = o, BD' + DB' = o.
!•• Le plan polaire d'un point fixe par rapport aux surfaces circonscrites à un quadrilatère gauche tourne autour d'une droite fixe.
19. Trouver l'équation d'une surface du second ordre tangente aux arêtes d'un tétraèdre.
Si on pose C = D = 0 dans l'équation générale F (A, B, C, D) = o, on trouve qu'elle se réduit i
celle-ci représente deux plans passant par Taréte A := B = o et les points où l'arête G^Dhbo rencontre la snr&ce. Mais, si elle est tangente à la droite G=sD=:o, on doit avoir a*ti = atiOia* On trouverait semblablement les relations
Posons «11^ p*^ an = 9*, ags^r*, 044 = «* ; on aura ait =s±:pq^ ait = ±:pr, at4 = ±:p«, au = àzgr^ 0,4 = ±7*, a^^^dcrf
En snbstitoâDt^ Péquation demandëe sera
p«A«+ç'B« -f r«C« +#»D« ±2pqKh±:2prACdb2psAD± 2qrBC ±2qtN>dt2riCD=zù
II est facile de Térifier, en formant les équations du eentre, que Tëquation précédente ne représente qu'un cas particulier d'une surface du second ordre» si on prend le signe +; de sorte que les surfaces du second degré proprement dites qui touchent les arêtes du tétraèdre seront définies par Téquation
pU»+7«B«+r«C«+««D«— ap^AB— 2prAC— ap«AD— 2îrBC— a^tBG— 2r«CD=o. !•• Montrer que les droites suivantes
On"
OtS
Ou'
an"
ots
Obi ^si «84
appartiennent à un même hyperbolofde, ainsi que les droites représentées par les équations
(«') a45A=a4iC = at8D,
(3') ««4 A = 0146 = a, tB,
(4') ajsA = asiB = aa«G.
!•• Quand on rapporte une surface du second degré aux différents tétraèdres conjugués par rapport à une même surface du second ordre, la somme des coefficients des carrés des variables est constante.
Considérons la surface du second ordre représentée par Téquation
et conjuguée au tétraèdre ABCD^o. Si elle est conjuguée à un second tétraèdre A'B'C/iy ^ 0| on aura aussi
où les variables A', B', C, D' sont des expressions de la forme
A' = ot A + oaB + ObC + a4D, B' = 6i A + 6aB + 61C + 64D, C = Cl A + ciB 4- c,C 4- C4D, ly = ils A + (fiB + d,C + (fiD.
Par la substitution de ces cipressions dans Tëquation précédente, on arrive aux relations
«i* + V-f-Ci* + rf.«=i.
«/-hV + '^4' + d4« = i;
<»iOi + *!*• + CfCt + didt = o, fltOs + 61*8 -h CiC» + rfirfs = o, «f 04 4- M4 + CtCt + rfidi = o, «•«3 + frt*3 + CfCs + dad, = o,
fll«4 4- 6t*4 + «1*4 + ^* = o»
<»stt4 4" ^8^4 -|- C»C4 4" d3d4 = O.
Cela éUBt, soit
(/8) aitA*-fatsB* + a33C' + a4«D*+2aiiAB-f = 0
réquation d'une surface du second ordre rapportée au premier tétraèdre ; cherchons réquation de la même surface par rapport au second. Si on multiplie les équations (a) respectivement par «i, 61, Ct, dt, et si on les ajoute, il viendra en vertu des relations précédentes,
A = Oi A' + 6tB' 4- C|C' -4- dtiy.
On aura de même
B = o.A' -f b^W + e,C' + d,D', C = o,A' -h 6,B' + cC' + d^D', D = a4A' 4- 64B' + C4i:' + djy.
En substituant, Téquation {fi) devient
(«iifli" + «M^t" 4- a»»aa* + »44«4* + 2«iit«iai 4. ....) A'" + («11*!* + Oê^n* + rtsafts" + a44*4* + a«ii*i''i +••••) B'» -|- (ffifCi* + «tt^i* -4- «53C»* 4- «41' 4* 4- 3an<*t«i+ ••••^ C" 4- («iidt«4- «tid.» 4- a„d5* + 044d4* + 2«itdid,4- ....) D «
Si on fait la somme des coefficients des carrés des variables on trouve
c*esi-i-dire, la somme des coefficients analogues de l'équation (fi); donc, etc.
9m, Les arêtes d*un tétraèdre rencontrent une surface du second ordre en douze points I ou mène des plans par les points d*intersection situés sur les arêtes d*un
même sommet; les quatre plans ainsi obtenus renconlrent les faces opposées du tétraèdre suivant quatre droites d'un même hyperboloîde (Chasles). On le démontre facilement» en considérant Téquation particulière du second degré
At + B« + C« + D«-(«i, + ^)AB~/^ii„ + JL j^^
On trouvera pour les équations de quatre plans
(I) A = a„B + a„C + auD, (a) B = a„ A H- o,sC + a,4D,
(3) C = a», A + asiB + a,«D,
(4) D =: a4iA + ««B + a46C.
On a vu précédemment que les droites représentées par les équations
A = o, ai|B-{-ai8C-4-ai4D = 0, B = o, oiiA -|- otsC -|- <hJ^ "^ o, C=:09 asiA-f*a8tB-)-ag4D ^O, 0 = 0, a4iA-f-a4iB-f-045C=:0, appartiennent à un même hyperboloîde.
•1. Par les arêtes d*un tétraèdre quelconque on mène douae plans tangents à une surlace du second ordre; ces plans se rencontrent trois a trois en quatre points; si Ton combine ceux qui passent par les côtés d*une même face du tétraèdre, les droites qui réunissent ces points aux sommets du tétraèdre opposés aux faces sont quatre génératrices d*un même hyperboloîde.
