AA' = B*, AA" = B'S AB = B'B

Ainsi, un cylindre parabolique exige six conditions pour être complètement déterminé.

990. Parmi les conditions diverses auxquelles on peut assujettir une

surface du second ordre, nous citerons les suivantes :

i^ Un point ou un plan tangent vaut une condition simple donnant lieu à une relation de la forme

3° Une droite équivaut à trois conditions; car elle ne peut être entièrement située sur la surface sans avoir trois points communs avec elle. Autrementi si on combine les équations

x = aZ'\-pj y == 6« -[- qr

avec f{x, y , 2) sa o pour éliminer x et y y on arrivera h une équation du second degré en z^ par exemple,

Pz* + 2Qz + R = o

qui doit être vérifiée quel que soit z; ce qui exige que Ton ait Pe=o, Q = o, R = o^ et, par conséquent, on a trois équations distinctes entre les coeflScients de Téquation du second degré.

3* Si la surface est assujettie à avoir pour centre le point {xuyif Zi)^ on aura

f!, (aPi, y* , Zi) = o, /•; (ar,, yi, Zi) = o, f, (xi, y„ z,) = o;

par suite, le centre équivaut k trois conditions simples.

4'* Un plan tangent en un point donné, un plan avec son pâle équivaut à trois conditions; car, en identifiant les équations

ax + 6y + cz+d = o, a/,', +y/';,+ z^, + </î,«o, il vient les égalités

elles donneront trois relations distinctes entre les paramètres.

5* Assujettir une surface i passer par une conique équivaut à cinq conditions, puisqu'il faut cinq points pour déterminer cette courbe. Il en est de même, si la conique est un cercle. En effet, soit

JE = o, a («* + y*) + ''^ + ^y + f^^ ^

les équations du cercle; celle d'une surface quelconque qui passe par cette ligne peut s'écrire

* [a {x* + y') 4- 6a; + cy + /] + A"jr» -j- B'xz + Byz + C"z = o ;

elle ne renferme plus que quatre coefficients indéterminés.

6® Une surface qui passe par deux coniques qui ont une corde commune satisfait à huit conditions; car chaque conique est déterminée par

les points communs et trois autres points; la surface passe donc par huit points distincts. En gënëral, il n'est pas possible de mener une surface du second ordre par deux coniques qui ne se rencontrent pas, puisque cinq points étant nécessaires & la détermination de chacune d'elles, la surface devrait passer par dix points distincts choisis i volonté sur les coniques; ce qui est impossible.

901. Surfaces passant par huit points. Lorsque la surface du second ordre représentée par Téquation générale /'(x, y, z) »= o est assujettie à passer par huit points, on a huit relations linéaires entre les paramètres de la forme f{xu yo i^i) = o; elles permettront d'exprimer tous les paramètres moins un en fonction du neuvième. Soient a + A6, a' -{- A6\ a'^-}-X6'' etc., ces fonctions, où a, 6, a^•.. sont des quantités connues et A un coefficient indéterminé : l'équation de la surface qui passe par les huit points pourra s'écrire

ou bien

(i) S + XS' = o,

S et S' étant deux polynAmes du second degré en x, y, z» Cette équation définit un système de surfaces qui jouissent de la propriété de passer par les huit points; elle est satisfaite quel que soit A en posant S = o, S' a o, et les points communs à ces deux surfaces déterminées appartiennent aussi à une surface quelconque du système. Gomme deux surfaces du second degré se rencontrent suivant une courbe gauche du quatrième ordre, nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Toutes les surfaces du second ordre qui passent par huit points donnés ont en commun une même courbe gauche du 4* ordre passant par ces points.

Les surfaces S «a o. S' = o correspondent aux valeurs A b=s o, A s» oo, et passent par les huit points donnés. Il en résulte qu'une courbe gauche du 4* ordre sera complètement déterminée, si elle est assujettie à passer par huit points de l'espace; car on pourra trouver deux surfoces du second ordre qui passent par cette ligne et qui la déterminent de forme et de position.

Nous avons vu (N^ 148) que neuf points de l'espace déterminent en général une surface du second ordre et une seule. Cependant, si les

points appartenaient à une même courbe gauche du quatrième ordre, toute surface menée par huit de ces points passera nécessairement par le neuvième : il y aurait une infinité de surfaces du second ordre qui satisferaient à la condition de renfermer les neuf points donnés. Il en est encore ainsi, lorsque six points appartiennent h une même conique plane; car ils ne forment que cinq points distincts, nombre suflBsant pour déterminer la conique; par suite, la surface menée par les neuf points ne satisferait plus qu'à huit conditions.

THéoaÎMB 1 . Lêê plans polaires d'un point fixe par rapport avx surfaces qui ont huit points eommuns poisent par une droite fime.

En effet, soient P:=o, Q^o les ëqaations des plans polaires d'on point («', y', z') par rapport aux surfaces S et S' qai passent par les huit points. D*après la manière de former les équations P==0y Q =0« le plan polaire du mâme point relativement à une surface quelconque du système S -f- ^' =o sera représenté par Téquation