P + AQ

elle est satisfaite en posant P=o, Q = o quel que soit >, et tous les plans qu*elle définit passeront par la droite d*intersection des plans P et Q.

On sait que si le pôle («% y', z') s'éloigne à Tinfini sur une droite D, le plan polaire devient le plan diamétral conjugué de cette direction. On en déduit ce théorème :

Lei plans diamétraux conjugués d'une même droite dans les surfaces du second ordre qui passent par huit points ie coupent suivant une droite fixe (Lamé).

•. Les droites conjuguées d'une droite fixe par rapport aux surfaces du second ordre qui ont en t:ommun une même courbe gauche du quatrième ordre appartiennent à un même htfperboloîde à une nappe.

Soient

P + >Q = o, R + iS = o

les équations des plans polaires de deux points de la droite fixe ; Tintersection de ces plans est la droite conjuguée de la précédente; mais, si on élimine le paramètre >, il vient Téquation du second degré

PS-QR = o

qui représentera le lieu des diverses positions de la droite conjuguée; c*est un hyperboloîdeàunenappe.

S. Le pôle d'un plan fixe par rapport aux surfaces guipassent par huit points décrit une courbe du troisième ordre, intersection de deux hyperbolotdes à une nappe qui ont une génératrice commune.

Considérons les équations

des plans polaires de trois points choisis dans le plan fixe ; ces plans se eoapent en an point qai sera le pôle du plan donne. Le lieu du pôle s'obtiendra en éliminant >; ce qui donne les équations

PS-RQ = o, PU-QT = o, RU — ST=o

qui représentent trois hyperboloïdes à une nappe; les deux premiers ont une génératrice commune, la droite d*intersection des plans P et Q; comme Pintersection de deux surfaces du second degré est une courbe du 4* ordre, tous les autres points communs aux deux hyperboloïdes devront appartenir à une courbe gauche du troisième ordre : ce sera le lieu du pôle du plan fixe, en négligeant la génératrice commune qui ne se trouve pas sur le troisième hyperboloîde.

Si le plan fixe s*éloigne à Tinfini, son pôle coïncide aTcc le centre de la surface, et le théorème précédent devient :

X«f tetiirêê des »urfaee$ du second ordre qui ont huU pointé communs sont sur une courbe gauche du troisième ordre,

sot. Surfaceê passant par sept points. Si on exprime que la surface A^»y9^} = o V^^^ P&i* sept points donnés, on obtient un nombre d'équations suffisantes pour exprimer sept paramètres en fonction des deux autres, et mettre leurs valeurs sous la forme a + ^^-l'^f^} a' + b'X + c'iJL etc. où X et p sont deux coefficients indéterminés et a, b, e... des nombres connus. Il en résulte que Téquation générale des surfaces qui passent par sept points sera de la forme

S + iS' + f;iS" = o,

S, S', S" étant des fonctions du second degré en x, y, 2. Or elle est toujours satisfaite par les valeurs des variables déterminées par les équations

qui ont en général huit solutions communes. Donc (otites les surfaces du second ordre qui passent par sept points passent par un huitième point fixe.

D'après un théorème démontré précédemment (N^ 287), les huit points d'intersection de trois surfaces du second ordre étant partagés en deux groupes seront les sommets de deux tétraèdres conjugués à une même surface du second degré.

THéoniMB i. Les plans polaires d'un point fixe par rapport aux surfaces du second ordre qui passent par sept points donnés passent par un pohu fixe.

Soient P = o, Q =o> R = o les plans polaires d'un point (œ^, y', s') par rapport aux surfaces S = o, S' =0, S" = o. L'équalion du plan polaire du même point par rapport à une surface du système S -|- >S' -j- f*^" = ^ sera de la formé *"

quels que soient > et /ui, elle définit des plans qui passent par le point d*intersection de P, Q, R.

Si le point fixe s'éloigne à Tlnfini sur une droite D, les plans polaires deviennent les plans diamétraux conjugués de cette droite. Donc, Uê plam diamétraum eonjuguéê d^unê droite fixe dan» le» tnrfaee» du »eeond ordre qui paseent par »ept point» donné» pa»»eHt par un point fixe (Lamé).

9. Le p6U d^un plan fixe par rapport aum eurface» du »eeond ordre quipa»»entpar »ept point» décrit une eurfaee du troieième ordre. Prenons dans le plan fixe les points (»', y\ z'), (x'\ y'\ z'%(pc^'\ y'" y z'")^ et soient

P' + >Q'+/*R' = o, P" + >0"H-/«R"=o, P'" + >Q'" + /«iR'"=o

leurs plans polaires qui se rencontrent suivant le pôle du plan donné. Si on élimine les paramètres, on trouve, pour le lieu du pôle, Téquation du troisième degré

Quand le plan fixe est à Tinfini, le pôle devient le centre de la surface; donc, le» centre» de» »urfaee» du »econd ordre qui pa»»ent par »ept point» appartiennent à une eurfaee du troieième ordre,

998. Construction du huitième point. Cette conatruction découle du théorème suivant : Étant donnés huit points a, 6, e, d et a\ 6', e\ d' tels que toute surface du second ordre qui renferme les sept premiers passe par le huitième^ si on mène par les points d et d' les droites éE /T, jG et c'E', /*'F', ji'G' qui s'appuient sur les côtés opposés de Fhexagone ahca'h'c\ elles détermineront les sommets de deux hexagones

efgEFGy e'fg'E'F'G'

dont les côtés sont les génératrices d^un même hyperboloïde.

Les diagonales des deux hexagones se coupant en un même point, les côtés opposés sont dans un même plan; par suite, une droite qui glisse sur les côtés pairs de Tun d'eux engendrera un hyperboloide passant par les côtés impairs, puisque chacun de ces derniers rencontre les trois autres. Les côtés du premier hexagone sont donc sur un certain

liTperboloIde (H) et les cAtés du second sur an byperbolotde (B'). Nous allons voir que ces deux surfaces coïucident, en prouvant que chique c6Xé de l'un des polygones rencontre les cAlës pairs de l'autre ou ses cAt^s impaire. Considérons d'abord le cAtë e'p du second beiagone et montrons qu'il 1-eneontre les cAtéa impairs ef, gZ, PG du premier. II est visible que les droites ef, ^f se rencontrent dans le plan de ^« ^- l'angle fi; le cAté e'f rencontre

aussi FG comme nous allons l'établir, en montrant que les points e', f,

F, G sont dans un même plan.

Soit

M» + mB' + nC* +pD* =- o

l'équation de la surface conjuguée aux deux tétraèdres abed, a'b'ed', "^o, B = o, C = o, D = o étant les équations des faces opposées aux sommets o, 6, c, d. Désignons par «.«»«,«„ (3,|3tP,(3., ytytyi/*, 5i3t3y3, les coordonnées des sommets du second tétraèdre; les équations des faces respect! yemcnt opposées h a\ b', c', d' seront {N- 287)

A' = /a, A -]- m<X|R -|- nasC +pa,D = o, B' = /p, A + m(3,B + npsC + p(3,D = o, C' = ly,A'+- my,ft -\- Hy,C -[-pyj) = o, D' = /J, A + mJiB + itèsC + pJ^D = o. avec les conditions

/«,{3, + m«,p. + n«,p, 4- pa,|3. = o, («) lixiyt + m«,7i + na,ys -{-paty* = o.

Le plan polaire du point e' qui se trouve sur l'arétc ah passera par edj de plus, ce point est sur une droite du plan a'b'd' et le plan polaire

devra renfermer le poiat c\ pôle de la face a'b'd'. Avec ces conditions, rëquation du plan polaire du point t' par rapport à la surface sera

(c'j yiA — yiB = o.

On trouvera de même, pour le plan polaire du point f\ Téquation

{(') ajB — a,C = o.

Le point F étant sur Taréte h'e\ le plan polaire correspondant aura une équation de la forme

B— ÀC' = o;

mais ce point est dans le plan bcd^ et le plan polaire doit passer par le

point a; cette condition donne AsstL; par suite, Téquation précé*

dente devient

(F) mi^tyi — P,y.) B + n(/3,y, — p,y,) C + p(P*yi — ^.y*) D = o.

Enfin, le plan polaire du point G renferme la droite d'intersection des plans A = o, C »=> o, et son équation peut s'écrire

A — ÀC' = o.

En exprimant qu*il passe par le pôle du plan da'c qui renferme le point G^ réquation précédente se présente sous la forme

(G) f a lyt A + at (myiB + ny sC -j- p/iD) = o .

Les quatre plans (e'), (/'), (F), (G) passent par un même point; car si on substitue dans les équations (F) et (G) les valeurs de A et C tirées des égalités (e') et (/*'), on trouve

[m«t{|3«yi — Piyj) + Iia8(p5yi — ^iy%)] B + pai (Piyi — y^PO D = o, (faiyi + maiyi + nasy») B + p«ty4D = o ; mais, en éliminant { entre les relations (a), on obtient

mat(Ptyi — Pjyi)+ n«j(P3yi — /3iyj) + pa4((34yi — Piyé) = o,

et les équations précédentes peuvent s'écrire

— ajà + aiD = o, «iB — «iD = o;

on voit qu'elles sont identiques.

Puisque les plans polaires passent par un même point, les pôles ^'9 f'j ^} ^ so^^ ^^^^ "" même plan, et la droite e'f rencontre FG. On verrait semblablement qu*elle rencontre aussi le cdté gE du second hexagone. On peut donc considérer comme établi que les deui hyperbololdes coïncident, puisqu'un cêté quelconque du second hexagone rencontre les côtés pairs du premier.

De là cette construction : étant donnés les sept points a, 6, c, d,

a', 6', c', on mènera par Tun d'eux d des droites qui rencontrent

les côtés opposés de Thexagone gauche formé par les autres : on

trouvera ainsi Thexagone efgEFG dont les côtés sont les génératrices

A A de l'hyperboloïde H; les plans des angles a, 6... détermineront par

leur intersection avec la surface les différents côtés du second hexagone eYYE'F'G' dont les diagonales se couperont suivant le huitième point cherché.

%9Â, Cette construction due à M. Hesse est en défaut lorsque l'hexagone efgEFG est plan, car Thyperboloïde se réduit alors à deux plans, le plan du polygone et un autre qui est inconnu. Cette circonstance se présente lorsque le point d est le sommet d'un cône du second ordre qui passe par les autres points a, 6, c, a', 6', e\ Imaginons, en effet, un tel cône et coupons-le par un plan P; les arêtes qui aboutissent aux sommets de Thexagone abca'b'c' vont déterminer sur ce plan un hexagone od^oL^^'y' inscrit dans la conique d'intersection; le point de concours des côtés <x/3, a'|3' doit appartenir à la droite d'intersection des plans dabf da'6', et, par conséquent, il se trouve sur la ligne eE. Ainsi, les trois droites eE, /T, gG aboutissent aux points de concours des côtés opposés de l'hexagone a^a'^'y' et seront situées dans un même plan avec l'hexagone efgEFG.

Il y a une infinité de cônes du second ordre qui jouissent de la propriété de passer par les six points a, 6, c, a', 6', c% et leurs sommets sont sur une surface du quatrième ordre. En effet, soient R = o, S = o, T = o, U «=3 o les équations de quatre surfaces du second ordre qui passent par ces points : l'équation

aR + fiS + vT + pu = o

définit une surface quelconque du second degré jouissant de la même propriété. Si elle représente un cône, les coordonnées du sommet

doivent vérifier les ëquations

XR'. + fxS', + vT'. + pU'. = o, AR', + ^'y + vr, + pU'y=o, ^'. + pS'. + vT', + pU'. = o, XR'i + iiS't + vT^ + pU'* = o.

Par réliminatioQ des paramètres, on arrive à l'équation du quatrième degré

qui représente le lieu des sommets des cdnes passant par les points Qy by Cj a'i 6', c\ Chaque fois que le septième point se trouve sur cette surface, la construction de Mt Hesse n'est plus applicable. M. P. Sbrret, Géomitrie de dinclian, p. 332, complète le théorème du géomètre allemand.

f9S. Surfaces doublement iangetUes. Considérons deux surfaces

du second ordre

qui se touchent en deux points m et n. Menons un plan par la droite tnn

et un troisième point p de Tinlersection des surfaces : il coupera celles-ci

suivant deux coniques doublement tangentes en m et n, et passant

par un autre point p; ces courbes satisfont à cinq conditions identiques

et doivent coïncider. Mais, deux surfaces du second ordre qui ont en

commun une même conique, ne peuvent plus se rencontrer que suivant

une courbe du second degré puisque leur intersection est une courbe

du 4<* ordre. Par conséquent, les deux surfaces doublement tangentes

se rencontrent suivant deux courbes planes. Si on représente par

A = o, fi eao les équations des plans des coniques d'intersection,

Téquation

S + AAB = o,

où X est un paramètre arbitraire, définit un système de surfaces du second ordre doublement tangentes à S >=3 o.

Nous avons vu, en géométrie plane, que deux coniques sont homothétiques lorsque les coeflScients des carrés des variables sont proportionnels; on peut étendre facilement ce résultat aux surfaces de second ordre. Gela étant, si S 8=0 représente une surface du second degré,

Téquation

définit un système de surfaces homothétiques à la proposée : c'est un cas particulier de Téquation S4-^Afi = 0, celui où le polynôme B se réduit k une constante. Les surfaces homothétiques se rencontrent donc suivant deux coniques planes, Tune située à une distance finie dans le plan A =: 0, l'autre h Tinfini dans le plan A: = 0. En particulier, deux sphères quelconques doivent être considérées comme ayant en commun un cercle imaginaire à l'infini.

THBOftàHB • . Lonque troia $ur faces du second ordre patsent par une mêtne conique, ieê plam des autres coniques d'intersections de ces surfaces prises deux à deux passent par une droite fixe.

Ce théorème découle des équations

S=0, S-fUB = 0, S + ;t*AC = 0;

en les combinant par soustraction, on verra que les coniques dUnlersection se trouvent dans les plans

B = 0, C = 0, AB — /tC = 0.

t. Étant donnée une surface du second ordre doublement tangente à une sphère, le carré de la tangente à la sphère menée d*un point de la surface est dans un rapport constant avec le produit des distances du même point aux plans des coniques d'inter^ section.

Ce théorème est la traduction de Téquation S -{- ^AB = 0, lorsque S représente le premier membre de l'équation d*une sphère.

S. Le lieu d^un point tel que le carré de la tangente menée par ce point à une sphère est dans un rapport constant avec le produit de ses distances à deux plans fixes A = 0, B = 0 e«t une surface du second ordre ayant un double contact avec la sphère.

Bn effet, l'équation du lieu sera de la forme

g -— = A (const.), ou S — AAB=:0.

Si la sphère se réduit à un point, on a ce théorème : Le lieu d'un point tel que le carré de sa distance à un point fixe est dans un rapport constant avec le produit de ses distances à deux plans A = 0, B = 0, est une surface du second ordre ayant un double contact avec le point fixe.

Ce point-sphère aura deux sections planes communes avec la surface; c'est ce point que nous avons appelé foyer d'une surface du second ordre.

t06. Surface» dreonêcrùes. Si, dans Tëquation S-f-ÀAB = 0| on pose A s=8 B, elle devient

S + AA* = o.

Celle-ci représentera un système de surfaces du second ordre dont les sectioQS planes communes coïncident; elles se touchent en tous les points de la conique du plan A =» o; car Téquation du plan tangent à la surface en un point (x% y' y z') de cette courbe est de la forme

P + UA' = o,

P =3 o étant lo plan tangent à S, et A' la valeur du polynôme A pour les coordonnées x^y y', z'; mais le point de contact étant dans le plan A, on a A' ss o, et le plan tangent P b» o sera commun & toutes les surfaces de la série. On dit alors que les surfaces se raccordent tout le long de cette conique ou qu'elles sont cireonêerites Tune à l'autre. Les surfaces homothétiques et concentriques à une surface du second ordre S =3 0 sont représentées par une équation de la forme

S + fc=3o;

c'est un cas particulier de la précédente, celui où le polynôme A se réduit k une constante. Il en résulte que l'on doit considérer les surfaces homothétiques et concentriques, comme se raccordant suivant une conique dans le plan à l'infini X; sa o.

Il faut remarquer qu'un plan sécant rencontre les surfaces circonscrites suivant des coniques qui ont un double contact. En particulier, lorsqu'un plan sera tangent en un point ombilic de la surface S b= o, il •rencontrera la surface S -{~ ^' = o suivant une conique qui aura un double contact avec ce point, et, par conséquent, l'ombilic sera l'un des foyers de celte conique.

Donc, si deux surfaces du second ordre sont circonserites l'une à Vautre, les plans tangents aux ombilics de l'une des surfaces rencontre Vauire suivant des coniques qui ont ces points pour foyers.

Lorsque l'une des deux surfaces est une sphère, tout plan tangent à la sphère déterminera par son intersection avec la surface du second ordre une conique dont Vun des foyers sera le point de contact.

THÉoEàMi fl. Dewù surfacet du aecond ordre nireonierites à une Iroieième te coupent êuivanl deux courbes plcmet,

En retranchant membre à membre les équations

il Tient AA' — /uB'so qai définit deaz plans passant par les points conmiuns aax surfices.

9. Qwmi troU iurfacea du êecond ordre êont circotueritei à «fie quatrième, eUet ê990upmt f utoaiil 4m courhu planée et let sim ptatu de ee$ courbes patêmt trois à troie par une même droite.

Les équations des sarfaees eiroonscrites k S étant

S + A» = o, S + B»=:o, S + C*=o, les six plans des coniques d'intersection seront représentés par

A«-B« = o, A«-C* = o, B«-C» = o; ils formeront quatre groupes de trois plans passant par une même droite.

S. Lonqu'une ewfaee dn eeeond ordre est eêreoneerite à une ephhre^ le rapport de la tangente à la tphère iesue d*ttii point de la eurfaee à la dittanee de ce point au plan de raeeordement eet eonetant.

Ce théorème est la traduction de l'équation de S-j- XA':=o» quand S=o représente une surface sphérique.

4. Le lieu d'un point, tel que le rapport de la tangente ietue de ce point à une aphère Sàea dietanee à un plan fime A = o eet tonetant^ eet une eurfare d» eeeond ordre eirconeet*ite à la ephère euivant le plan fiae.

En effet, Téquation du lieu est de la forme --^ = i^, on S — AA' = o.

t97. Quand une surface du second ordre est circonscrite d un qttadri^ latire, toute transversale rencontre la surface et les plans des angles opposés du quadrilatère en six points en involution. (Polie, Mémtnres de VAcademie de Belgique, tome XXXIX.)

Soient As=3 0 et Gs^o, B=3 0 et Ds^o les plans des angles opposés d'un quadrilatère gauche. L*ëquation d'une surface quelconque du second ordre circonscrite à ce polygone est de la forme

AC — XBD = o.

Supposons que les équations des plans A, fi, C, D soient ramenées à la forme

(A) z -f- aiX + aty — o «= o,

(B) z + biX 4^ 6iy — 6 = o,

a, bf c, d désignent les distances à l'origine o des points où les plans rencontrent l'axe des z. Appelons a, |3, a', |3' ces points, m et m' ceux oi!i le même axe perce la surface. Si on pose x =y = o dans rëqualion AC — ^BD = o, elle se réduit k

(^a){2-e)=i(«-fc)(«-d).

En remplaçant successivement z par les segments om, om' il viendra les égalités

(om — a) (om — c) (om' — a) [om' — c)

{om — b) (om — d) (om' — b) [om' — d)

ou bien

ma • mx' mf-

et, par conséquent, les six points a. et a.', |3 et j3', m et m' forment une ioTolnlion.

M8. Si un hexagone gauche inscrit d une lurface du eeeond ordre est formé de iix génératrices dont trois appartiennent d un mime système, les plans des angles opposés se coupent suivant trois droites situées dans un ni^e plan (Foue).

Soit un hexagone gauche 133456 inscrit i une surface du second ordre dont les calés 12, 34, 56 sont des gênératrices d'un même s]'stéme et les calés 23,

45, 61 des génératrices du second système. |

Al = 0, Ai ^ 0, A, c= o, At = o, A)^=o, A«^^o

sont les équations des plans des angles i ,2, etc.,

les plans opposés seront Ai et A4, A| et Ag, ^'s- ^'

Al et A|. Soit a le point de rencontre des câtés 45 et 12; les deux

quadrilalires 165a, 234a sool inscrits dans la surface et ont une face

commune A =■ o. Il en résulte que la surface peut être représentée par

l'une ou l'autre des équations

^AA« — f^iAi =3 o, ^|AAi — ^iA|A4 => o;

d'où on déduit l'idenUtë

XAAe — (J1A4A5 = A1AA3 — |^iAtA4; par suite, les équations équivalentes

A (XAe — AiAs) = o, /ixAi As — fAiAiAé == o représentent le même lieu. La seconde est satisfaite en posant

A4 = O, Aï = O ; A5 = o, A4=so;

ces équations donnent les droites 12, 45 qui déterminent le plan A. De plus, elle est encore satisfaite en posant

. Al = 0, A4 = o; A5SS0, Aj = o;

et les droites, d'intersection de ces plans opposés devront appartenir au plan AAe — X|As = o donné par Tautre équation; comme ce dernier passe par Tintersection des plans Ae et As» le théorème est démontré.

999. On a trois surfaces du second ordre S, Si, Si, ; on mène deux surfaces du second degré Si et Si la première par IHntersection de S et Si, la seconde par Vintersection de S et 8%; la courbe d^intersecUon des surfaces Si et St se trouve sur une même surface du second degré avec la ligne d'entersection de Si et Ss.

En effet, les équations des surfaces (si) et {st) étant de la forme

S — kiSi = 0, S — *iSt = o,

on trouve, en les retranchant membre à membre,

kiSi — kfSi = o.

Cette équation du second d^ré représente une surface du second ordre passant par la ligne d'intersection de Si etSs; comme elle provient des précédentes, elle renfermera aussi la courbe gauche du 4* ordre suivant laquelle les surfaces St et s% se rencontrent.

SOO. Étant données trois surfaces du second ordre S, Si 6( S — kSi qui passent par la même courbe gauche du ^^ ordre ^ et une autre surface déterminée a, on mène par les lignes d'intersection de s et S,

8 et Si deux surfaces Si et st} la courbe d^interse^ion de St et 8% ainn que l'intersection de s et S — kSt appartiefinent à une même surface du second ordre.

En effet, si on retranche membre à membre les équations

(Si) S — A:i« = o, Si — kt8 = Oy

après avoir multiplié la seconde par ky on trouve ,

S — fcSi — (*i — kk%) s =;= o;

équation qui définit une surface du second ordre passant par Tintersection de s et S — kSi ainsi que par l'intersection de Si et 8%.

30t. Étant données deux sphères Ci, G« et une surface du second ordre S, par les lignes d'intersection deS etC^y S et Ct on mène deux surfaces du second degré St et Si\ la courbe d'intersection de Si et «> se trouve sur une sphère passant par le cercle d'intersection des sphères G| et Ci*

Les équations des surfaces St et 8% sont de la forme

(Si) S — A:iCi=o, (st) S— A,C, = o;

on en déduit par soustraction

kiCi — fciCî = o.

Cette dernière équation représente une sphère passant par Tintersection de Cl et Ct ainsi que par la courbe gauche du 4* ordre suivant laquelle se rencontrent les surfaces «i et St.