AB + A — 2C»] = 2A

En substituant, il viendra

tiR

Xsss

ou, en remplaçant A, B, C par leurs valeurs,

* Il •

On trouvera semblablement

Ces formules donnent une relation entre les coordonnées d'un plan tangent et les coordonnées cartésiennes de son point de contact. Pour

arriver à Féquation de la surface des centres en x, y, z, il faudrait éliminer u, Vy w entre ces équations et celle de la surface. On trouverait ainsi une équation du douzième degré renfermant quatre-vingt-trois termes. Elle a é(é donnée par Salmon {Quaterly Journal^ i858). La méthode précédente pour arriver à Téquation tangentielle de la surface des centres a été indiquée par J. Booth, Ifeto geomeirical Methods^ London, 187S.

889. Surface des contacts. Soit Tellipsoïde représenté en coordonnées tangentielles par l'équation

(E) ^ + JÎ + 77 = x.

et UifVij U7| les coordonnées d'un plan tangent à la surface. On peut mener deux surfaces du second ordre concycliques tangentes à ce plan, c'est-à-dire deux surfaces ayant les mêmes sections circulaires (Ex. 42, p. 377). L'une d'elles étant représentée par l'équation

cherchons le lieu du point de contact de cette surface avec le plan (tii» Vi, Wi)y lorsque ce dernier se déplace en restant tangent à l'ellipsolde. On sait que le point de contact d'un plan tangent (tiijViyii'i) à H est défini par l'équation

util VVi WWi

avec les relations

wî . »î . u?*

o« (a« — X») ^ 6« (6« — A«) ^ r« (c» — >«) Désignons par oc, y, js, les coordonnées de ce point : il viendra

""^-^ï*' 2'==6^3T*' ^==ï^^ri»î

— ÎM)8 —

par raîle,

ti, =a « (o» — A»), »,=.y(6» — X»), », = z(e* — A»). En substituant ces valeurs daos les deux égalités précédentes, on trouve {x* + y» + z*) X* = a*x* + by + e*z* — i

Enfin, rélimination de A* conduit à Tëquation

ouy en dëreloppant

6 Vx» + a^c^ + a«6«z« = (6* — c«)*a*z»y» + (a* — 5»)»cyx«

Elle représente le lieu du point de contact de la surface variable H avec un plan tangent qui roule sur Tellipsoïde donne. C'est une surface du 4* ordre appelée par J. Bootb, iurface des contacts. On pourrait en déduire comme précédemment les formules propres à trouver réquation de la même surface en coordonnées tangentielles.

SM. Surfaces des ondes. Étant donné rellipsoïde

on mène un plan par le centre qui rencontre la surface suivant une conique. Désignons par pt, p« les axes de cette courbe ou les rayons maximum et minimum de la section, et portons, sur une perpendiculaire élevée par le centre au plan sécant, des longueurs OHi et OMs égales à pi, p« : le lieu des points Mi et Mt lorsque le plan tourne autour du centre est une surface du quatrième ordre appelée surface des ondes. Elle a été étudiée par Fresnel dans la théorie de la propagation des ondes lumineuses dans les milieux cristallisés.

A6n d'arriver à Téquation de la surface que Ton vient de définir, imaginons une sphère concentrique h l'ellipâoîde et représentée par

En retranchant membre h membre les équations des deux surfaces, il Tient

ou bien,

Cette équation définit une surface conique passant par Fintersection de la sphère et de l'ellipsoïde. Menons un plan tangent P à ce cône suivant un rayon OR; la tangente & Textréniité de OR à la conique d'intersection du plan P avec rellipsoïde appartient an plan tangent à la sphère au même point, et sera perpendiculaire au rayon; il s*ensuit que OR est un rayon maximum ou minimum dans la section du plan P, ou l'un des deux axes. Tout plan tangent au cdne donnera lieu à une remarque analogue. Il en résulte que le cône réciproque du précédent, c'est-à-dire le cône formé par les perpendiculaires menées par le centre aux plans tangents du premier, rencontrera la sphère de rayon r suivant une courbe qui appartiendra à la surface des ondes. Il suffit donc de combiner Téquation du cône réciproque

aV j^ b*y* , c*z'

avec celle de la sphère pour éliminer r*, et l'on arrivera à Féquation de la surface des ondes qui sera de la forme

a'x' j^ b*y* , c'ji*

En multipliant et faisant les réductions, elle devient

On en déduit pour les sections de la surface avec les plans coordonnés

(x« + y« — c«) (a V + by — o»6») = o,

(y« + z« — a*) (c»z« + by — 6«c«) — o.

Chacune de ces sections se compose d'un cercle et d*une ellipse; les points communs à ces lignes dans un même plan seront des points doubles, c'est-à-dire, des points où les deux parties de la surface se rejoignent puisque les deux rayons correspondants sont égaux. 11 est Tisible, en supposant a > 6 > c, que le cercle est intérieur k Tellipse dans le plan des rry, et extérieur dans le plan des yz; par suite, les points doubles sont imaginaires dans ces plans. La surface admettra seulement quatre points doubles réels dans le plan des acz.

On sait qu'il n'existe dans Tellipsoide que deux séries de sections circulaires réelles, parallèles à Taxe moyen; de sorte que les points de la surface des ondes où les rayons sont égaux doivent se trouver sur les perpendiculaires aux plans des sections circulaires centrales, et, par conséquent, dans le plan des xz.

La surface des ondes rencontre le plan des xy suivant un cercle de rayon c et suivant l'ellipse

o'rr» H- 6*y« — o*6« = o.

On peut s'en rendre compte facilement en observant qu'un plan passant par l'axe des z donne pour section une ellipse dont l'un des axes est c, et l'autre un rayon de l'ellipse du plan des xy ; si le plan sécant tourne autour de l'axe des z, les points de la surface des ondes situés sur la perpendiculaire au plan doivent décrire : l'un, un cercle de rayon c, et l'autre l'ellipse principale du plan des xy tournée d'un angle de W*.

391 . Surfaces apsidales. La surface des ondes n'est qu'un cas particulier d'un genre de surfaces qui admettent le même mode de génération et qu'on appelle surfaces apsidales. Considérons une surface quelconque S et un point fixe 0; menons, par ce dernier, un plan qui rencontre la surface S suivant une certaine courbe C; on prend, sur une perpendlculaire au plan sécant issue du point 0, des longueurs égales aux rayons maximum et minimum de la section : le lieu des extrémités de ces longueurs est la surface apsidalc de la surface donnée.

Pour trouver son équation, on écrira d'abord celle d'un cône ayant son sommet au point 0 et passant par l'intersection d'une sphère yariable de centre 0 avec la surface proposée. On verrait, comme précédemment, que tout plan tangent à ce cône suivant un rayon OR détermine dans

la surface uoe section où le rayon OR est maximum ou minimum. Il s'ensuit que les points d'intersection du cAne réciproque avec la sphère appartiennent à la surface apsidale dont l'équation s'obtiendra en éliminant r* entre les équations de la sphère et de ce cône.

S9S. Surfaces podaires. Soient S une surface quelconque et 0 un point fixe; on abaisse de ce point une perpendiculaire sur le plan tangent P à S : le lieu du pied p de la perpendiculaire, considéré sur tous les plans tangents & S, est une surface dérivée de la première à laquelle on a donné le nom de podaire.

Prenons le point fixe pour l'origine d'un système d'axes rectangulaires, et soient u, v, tv les coordonnées tangentielles du plan P : son équation peut s'écrire

(P) ux-{-vy'{'Wz=i.

Hais, nous savons que les cosinus directeurs de la normale & un plan, et, par suite, les coordonnées cartésiennes du pied de la perpendiculaire, sont proportionnels aux coe£Scients u, v et ti;; on aura donc

u V w On en déduit

u V w uX'\'Vy + WZ I *

d'où

Inversement, on aura aussi

X y z ux + vy -{• wz i

par suite,

Il résulte des formules précédentes que, si la surfaee proposée est définie en coordonnées tangentielles par l'équation F (u, v, to) aa o,

celle de la podaire en Xj y, z sera

Réciproquement, si le pied p décrit une certaine surface ayant pour équation /(x, y, z) = o, le plan P, mené perpendiculairement à l'extrémité du rayon variable Op, enveloppera une surface qui sera représentée en coordonnées tangentielles par l'équation

-/ ti V w \

Si on applique la règle précédente à l'ellipsoïde

^,+|5+^=i ou a*a« + 6V + c'u?» = i,

lorsque le point 0 est le centre de la surface, on trouve pour l'équation de la podaire

oV + bY + c V = (x« + y' + ««)«.

Réciproquement I si l'extrémité du rayon Op décrit la surface

le plan P enveloppera une autre surface représentée par l'équation

Quand la surface proposée se réduit k un point ayant pour équation /il -{* mv -{- ntt? ssB I, la podaire est une sphère représentée par

Ix + my -|- nz =« X* + y* + «•;

et lorsque l'extrémité du rayon Op décrit un plan Ix-i-tny + nz=s i, le plan perpendiculaire P enveloppera la surface

/u 4* ^w + ww^ = W + V* + u;'.

Étant donnée une surface S^ on peut en déduire plusieurs podaires successives; car en appliquant les règles précédentes à la première podairç obtenue, on aura une nouvelle surface appelée seconde podaire

de la proposée; et ainsi de sui(e. On donne le nom de podaire négative à la surface enveloppe des plans perpendiculaires aux extrémités des rayons vecteurs d'une surface donnée ; en appliquant le même procédé à la première podaire négative, on obtiendra une nouvelle surface qui sera la seconde podaire négative de la proposée, etc.

S9S. Surface de Jacobi. Considérons le système de quatre surfaces du second ordre définies par les équations

Soient LiLtLsLi, MiMiMsMa, NiIVtNsN4, P<PtP8P4 les premières dérivées des fonctions L, M, N, P prises respectivement par rapport aux variables X, y, z, (. Le déterminant

Li 1j% lis L4

Mi Ms Mj Mé

Ni N, N3 N4

Pi p. Ps P4

se nomme le Jacobien des équations données, et, en l'égalant à zéro, on a réquation d'une surface du 4* ordre qu'on peut appeler la Jacobienne du système des surfaces données.

Cette surface est le lieu des points de Tespace tels que les plans polaires de l'un d'eux par rapport aux surfaces données passent par un même point. Car, les équations des plans polaires d'un point (x', y', 2', t') sont de la forme

xl; + yL; + zl; + (l; = o,

xM;+yM;+«M;+eM;=o,

^p; + yp; + ^K + «PI = o,

et ces plans passeront par un même point, si les coordonnées x', y', z', t' satisfont à l'équation

Lj

Pi

La surface de Jacobi peut encore être regardée comme le lieu géométrique des sommets des cônes du second ordre renfermés dans Péquation

(s) >L + f^M + vN + ttP = o

qui définit des surfaces du second degré susceptibles de trois nouvelles conditions. En effet| si l'équation représente un cAne, les coordonnées du sommet vérifient les égalités

ALi + fxMi -1- vNi + 7rP< = o, iLt + fxMf + vNt -f ttP, = o, ^Ls "l- pMj + vNb + îtPj =s o, lu + fJ^M* + vN* + 7rP4 = o.

Le lieu de tous les sommets des cônes représentés par Péquation (s) s'obtiendra en éliminant les paramètres ^, /x, v, tt; ce qui revient à égaler à zéro le Jacobien des fonctions L, M, N, P.

Plus généralement, si les surfaces données L, M, N, P sont respectivement des degrés, /, m, n, p, le Jacobien du système est toujours le déterminant que nous venons de considérer; dans ce cas, les éléments des différentes suites étant respectivement des degrés / — i, m — i, n — I, p — I, la Jacobienne sera une surface de l'ordre

394. Forme particulière de tiquation du troisième degré. L'équation générale du troisième degré

Ho + W4 + **« "f" **» = o

renferme 20 termes, et, par suite, dix-neuf constantes arbitraires, de sorte qu'il faut dix-neuf points de l'espace pour déterminer une surface du troisième ordre. Soient

les équations de six plans renfermant chacune trois paramètres arbitraires. L'équation du troisième degré

(s) ABC — U'B'C = o.

où X est un coefficient indéterminé^ aura dix-neuf constantes arbitraires, et il sera généralement possible de ramener toute équation du troisième degré k cette forme. Il en résulte qu'on peut regarder cette dernière équation comme représentant une surface du troisième degré quelconque.

On voit immédiatement que les neuf droites