INTRODUCTION. — INFINIMENT PETITS KN GÉOMÉTRIE

suite de points A, M,, M;,,..., M/v ,, B correspondant àiri5 valeurs a, tK, t>, ..., t„i, (3, du pâratriètrë t. Ces u -\- i points sont les sommets d'une ligne polygonale inscrite dans l'arc AB; faisons varier cette ligne polygonale suivant une loi telle que le nombre de ses côtés augmente au delà de toute limite, chacun de ces côtés tendant vers o; si le périmètre de cette ligne variable a une limite, nous prendrons cette limite comme définition de la longueur de Varc AB.

Ce périmètre est une somme d'infiniment petits de même signe à laquelle nous pouvons appliquer le principe de la méthode infinitésimale; si nous remplaçons chaque côté MM' de ce périmètre par la quantité équivalente (/' — t)F(l), nous avons à considérer la somme

( if - x ) F ( y. )'-f- ( tk-t\) t(i, )''+... . ■+- ('p - f„-:j ) F( '■/«, ). Or, cette somme a bien une limite : c'est l'intégrale définie

L=» J F( ' t) dt.

Nous avons ainsi défini la longueur d'un arc compris entre deux points fixes A et B ; remarquons que cette longueur est connue en grandeur et en signe, le radical F(t) ayant, par convention, un signe déterminé.

Soit maintenant un arc variable VM ayant pour origine le point fixe A et pour extrémité un point mobile M ; la longueur s de cet arc variable sera une fonction de i

A= / F(t)dl.

Cette fonction, qu il sera souvent avantageux de prendre pour paramètre variable, est Varc indéfini, compté à partir de l'origine A. Si nous passons du point M au point M' infiniment voisin, I arc \ M prend un accroissement As, mesuré par l'intégrale

: ' rr

aic.Mi\r= / ¥.{t)dt.

Si (' — / tend verso, l'arc MM' a pour partie principale F(t)(t' — /)

qui est aussi, d'après la formule (i), la partie principale de la corde MM'; d'où l'on conclut le théorème suivant :

Théorème. — Un arc infiniment petit et sa corde sont deux infiniment petits équivalents.

Pour étudier une courbe dans le voisinage d'un point donné M, il convient de prendre pour infiniment petit principal l'arc infiniment petit MM' ou, ce qui revient au même, la corde de cet arc.

On a souvent à considérer simultanément des courbes C, C| se correspondant point par point, c'est-à-dire de telle sorte que de chaque point M de la première on déduise un point M, de la seconde par une construction géométrique déterminée : une pareille correspondance pourra être réalisée en exprimant, sur l'une et l'autre courbe, les coordonnées d'un point variable en fonction d'un même paramètre t. On aura alors, pour les coordonnées de deux points correspondants,

(M) ce — f (t), r =o (t), z = 4» (*);

(Mi) xi = /l(J). jrt — ox(t), s, = tyi(l).

Si nous restreignons assez l'intervalle dans lequel varie le paramètre /, pour que les fonctions f{ , cpl7 <lt satisfassent aux conditions déjà imposées aux fonctions f, c, <L, deux arcs infiniment petits correspondants MM', M, M, seront du même ordre que l'accroissement l' — t du paramètre. Donc :

Deux arcs infiniment petits correspondants sur des couches qui se correspondent point par point sont des infiniment petits du même ordre.

3. Angle de deux directions infiniment voisines. — Soit D une direction variable dont les cosinus directeurs £, r,, Ç dépendent d'un paramètre t. Menons par le centre d'une sphère de rayon un une demi-droite parallèle à D; l'extrémité jx de ce rayon aura pour coordonnées H, 7j, t: ce point décrit donc, quand t varie, une courbe sphérique, à laquelle on donne le nom ({indicatrice sphérique. A deux valeurs infiniment voisines /, t' du paramètre, correspondront deux directions D, D' et deux points directeurs |x, p.', infiniment voisins. L'arc de l'indicatrice ;jiu' est équivalent, d'après ce qu'on vient de voir, à la corde piu' ;