MM' MM' ' MM

(i PREMIERE PARTIE. — GEOMETRIE INFINITESIMALE.

d'où

aMM'~ (t'-t)f'(t), /;MM'~(/'-Oï'(M, cMM'~ (*'—<) V(t),

(i) MM'~(t'—t)F(t), F(t) = y/f'i(t) + <?'*(t)-hy*(t).

Or, F(£) n'est ni nul ni infini, d'après les restrictions imposées

Fig. a.

à l'intervalle a§ ; d'où l'on conclut la proposition suivante :

Théorème. — La distance de deux points infiniment voisins sui' une courbe est du même ordre que l'accroissement du paramètre t.

Tangente en un point. — Revenons aux cosinus directeurs de la corde MM'; en tenant compte du théorème énoncé, on voit que ces cosinus ont des limites respectivement égales à

fit) ?'(<) f (Q F(0.' F(*)' Fit)'

Si donc M' se rapproche indéfiniment de M, la sécante MM' tend vers une position limite MT : c'est la tangente en M ; toute droite menée au point M perpendiculairement à cette direction limite est d\le normale à la courbe donnée. Pour passer du point M au point M il faut donner au paramètre un accroissement /' — /: nous conviendrons de considérer le déplacement sur la courbe comme positif ou comme négatif suivant le signe de l'accroissement t' — /. Dans ces conditions la sécante MM' et, par suite, la tangente au point M seront définies, non seulement en position, mais aussi en direction. Cela revient à convenir qu'on prendra toujours le radical V(l) avec un signe déterminé.

Longueur d un arc indéfini. — Considérons sur l'arc AB une