CHAPITRE \. — COURBES A DOUBLE COURBURE

d'un poini fixe \. L'équation

«(X-*)-l-p(Y-jr)-HY(Z-*)= o

pourra, d'après cela, s'écrire

(X — *)f(t) + (Y—jr)<f'(t) + {Z — 'z)¥(e) = o ou, sous une forme plus générale, I a >' < X — x) dx -+- ( Y — y) dy ■+- (Z — z) dz = o.

Indicatrice des tangentes. — Soit p{fig. 79) le point directeur de la tangente MT, c'est-à-dire le point dont les coordonnées sont y., p, y.

Fia- -:<i.

Lorsque le point M décrit la courbe (G) le point u. décrit, sur une sphère de rayon 1 ayant l'origine pour centre, une courbe qu'on appelle V indicatrice sphérique des tangentes. A un arc MM' de (G) correspond un arc u,p/ de cette indicatrice et nous convien-

drons de faire se correspondre les sens de mouvement positif sur les deux courbes : en d'autres termes, nous prendrons pour sens

i; î DEUXIÈME PARTIE. — COURBES PLANES OU GAUCHES.

positif sur l'indicatrice celui dans lequel se meut le point p, lorsque le point IVI se déplace dans le sens positif sur la courbe (G). D'après ces coin entions, les deux arcs correspondants MM', uu' seront toujours de même signe.

i6. Normale principale. — La tangente ;j.B à la courbe sphérique est évidemment perpendiculaire au rayon Ou de la sphère; si donc nous menons par le point M une demi droite MN parallèle à uQ, MN sera normale à la courbe (G) ; c'est une normale très particulière déterminée en direction et qu'on appelle la normale principale au point M.

Soient a', [i\ y' les cosinus directeurs de la normale principale, d<r la différentielle de l'arc d'indicatrice; en appliquant les formules (2) à cette dernière courbe, on a immédiatement

( dtx = n! cfo, d[i = 3' di, dy = y' de,

Le plan mené par MT perpendiculairement à la normale principale a donc pour équation :

1 \ — x) da -+- ( Y — y 1 rffi h- (Z — s) rfy = o.

ou, en tenant compte des formules (a),

1 X — x) 1 ds di x — dx d1 s ) -+- ( Y — y ) ( rfs rf8^ — rf^ d% s) ■+• ( Z — z )( ds d- z — é/j rf* s) = o.

Ce plan, pour des raisons que nous verrons plus loin, a reçu le nom Ae plan rectifiant.

Remarques. — La direction de la normale principale, telle que nous venons de la définir, est déterminée a priori par les propriétés intrinsèques de la courbe au point M et ne dépend en aucune manière de la convention arbitraire relative au sens dans lequel on compte les arcs positifs. En effet, à deux conventions contraires correspondent évidemment deux indicatrices sphériques symétriques par rapport au centre de la sphère ; aux arcs MM7, M'M, parcourus en sens contraire, correspondent, sur les deux indicatrices, deux arcs au et m' m dont les cordes sont évidemment