CHAPITRE X. — coURKKS A DOUBLE COURBURE

parallèles et de même sens; d'où une seule el même direction dans les deux cas pour la normale principale.

Il est facile de voir comment cette direction est définie géométriquement ; il suffit pour cela de prendre pour centre de la sphère l'une des extrémités, M par exemple, de l'arc infiniment petit MM';

on voit alors sans peine que le vecteur au/ est dirigé par rapport au plan rectifiant du même côté que le point M'. Nous exprimons ce fait plus brièvement en disant que la normale principale est dirigée dans la région de la concavité au point M.

Courbure. — L'arc u-u.' d'indicatrice est ce qu'on appelle la courbure totale ou simplement la courbure de l'arc MM'; le rap-

3 rC UL fJL

port — — £prr-, qui est, d'après nos conventions, essentiellement positif s'appelle la courbure moyenne de l'arc MM' ; la limite de la courbure moyenne quand l'arc est infiniment petit s'appelle la courbure au point M. Nous la désignerons par - par analogie

avec ce que nous avons vu pour les courbes planes. Portons sur la normale principale un vecteur MM, égal à R et décrivons de M| comme centre un cercle tangent à la courbe (C) au point M ; ce cercle sera par définition le cercle de courbure, son centre M, sera le centre de courbure relatif au point M. Le rayon du cercle de courbure et les coordonnées a?,, r,, ;, du centre de courbure sont donc donnés par les formules

(4) .ri = r+Ra', ^1 = y -H R&', ;i = j + Ry', R=-t--

Remarques. — i° Lorsque l'arc ikuJ est infiniment petit, il est équivalent à l'arc de grand cercle de même corde ; or cet arc de grand

cercle mesure l'angle aOu' que font les deux tangentes aux extrémités de l'arc infiniment petit MM' ; cet angle est ce qu'on appelle l'angle de contingence au point M. La courbure au point M est donc mesurée par le rapport de l'angle de contingence à la différentielle de l'arc.

2° Nous avons supposé dans ce qui précède que l'arc u.u.f était un infiniment petit du premier ordre; s'il était d'un ordre supérieur, le point M serait un point d'inflexion. Les points d'inflexion sont d'ailleurs isolés sur la courbe, car si tout le long d'un arc AB supposé

i;f'> DEUXIÈME PARTIE. — COURUES PLANES OU GAUCHES.

réel on avail a?<r = o, c'est-à-dire da. = d$ = dv — o, a, [ii, y seraient constants et d'après les formules Ç\) x,y, z seraient des fonctions linéaires de s. La courbe (C) se réduirait donc à une droite.

47. Binormale et plan osculateur. — Nous appellerons plan oscillateur le plan TMN déterminé par la tangente et la normale principale, binormale La perpendiculaire au plan osculateur. Ces dénominations seront justifiées plus loin par les propriétés de ce plan et de cette droite. Soient a", [3", y" les cosinus directeurs de cette binormale; nous aurons, en exprimant qu'elle est perpendiculaire à la tangente,

-j.il' -+- PP"-1- *("(" = o, d'où

a rfa" + p rfp'-f- y '/•;" = — ( '/ doL -+- P' rf[3 ■+■ y" d~;).

Or le second membre est nul puisque la binormale est perpendiculaire à la normale principale ; on a donc simplement

a dx" -+- ji d$" -+- y d'i" = o.

Ceci posé, construisons l'indicatrice sphérique des binormales ; la relation précédente exprime que la tangente au point u, ( fig. 79) de cette indicatrice est perpendiculaire au rayon Ou; elle est donc perpendiculaire au plan |j.|Ou. et par suite parallèle à la normale principale MN. Or il en est de même de la tangente u.0 de la première indicatrice. Donc les tangentes aux deux indicatrices des tangentes et des binormales sont parallèles aux points correspondants. C'est le théorème de J.-A. Serret.

Remarque. — Nous pouvons maintenant définir la binormale comme demi-droite et non plus comme une droite indéfinie. Eneflet, à deux directions opposées de cette binormale correspondent des indicatrices sphériques symétriques et dont les tangentes aux points diamétralement opposés sur la sphère sont parallèles et de sens contraires. En l'un seulement de ces deux points ul{ la tangente est parallèle à MN et dirigée dans le même sens ; nous conviendrons de prendre pour direction de la binormale MB celle qui correspond à ce point jjl,, les cosinus directeurs de la tangente ;jl,0, seront alors, en grandeur et en signe, ceux de la normale principale et