CHAPITRE X. — COURBES A DOUBLE COURBURE

nous aurons, en appliquant les formules (2) à cette seconde indicatrice dont nous désignerons Tare infiniment petit par <:/t,

da." = a' di, d§" = p' dz, df = Y dz,

( 5 * | d^- = dz"* + rfp's ■+■ ^y**

L'équation du plan oscillateur sera

A(X — a- ) -t- B( Y — jk) -+■ C(Z — *) = o,

A,, B, G étant proportionnels à a", [3", *f . Ces coefficients peuvent d'ailleurs s'exprimer en fonction des différentielles de xyz de la manière suivante :

i A = dyd*-z — dz d*y, (6) < B = dz d*x — dx d2z,

( C = dx d"-y — dy d"-x.

On déduit en etlet de ces formules (6) les identités

Adx-h- Bdy->r- C dz = o, ' A d*-x -+- B d*y -+- C d*z = o:

la première exprime que la droite de coefficients A, B, C est perpendiculaire à la tangente; en la combinant avec la seconde on voit qu'on a aussi

X(dx d*s — ds d*x ) ■+■ B( dy d*s — ds d^y ) + C(dz d*s— ds d*z) = o,

ce qui exprime que cette même droite est perpendiculaire à la normale principale.

Torsion. — Nous appelons torsion totale d'un arc MM' l'arc correspondant ;a, a', de l'indicatrice des binormales; torsion

moyenne le rapport mm*' cette t°rsi°n moyenne sera, d'après nos conventions, essentiellement positive; lorsque le point M' se rapprocha indéfiniment du point M ce rapport aura une limite

~ = — également positive. Nous appellerons torsion de (C) au point M une quantité algébrique ayant pour valeur absolue ^

et dont le signe sera déterminé, suivant la disposition de la courbe relativement à son plan osculateur, par une convention que nous définirons plus loin (§ 49).

Ici encore on peut substituer à l'infiniment petit di l'infinimenl D. «2

petit égal à L'angle que foui deux binormales aux deux extrémités de l'arc ; cet angle, qui est aussi celui des deux plans oscillateurs correspondants, s'appelle V angle de torsion au point M.

Remarque. — Il y a lieu de faire ici une remarque analogue à celle que nous avons faite au sujet de l'angle de contingence. L'angle de torsion est en général un infiniment petit du premier ordre; lorsqu'il est infiniment petit d'un ordre plus élevé, le point M est dit un point de stationnement. Les points de stationnement sont nécessairement isolés les uns des autres ; si, en effet, tout le long d'un arc VB réel, la partie du premier ordre de l'angle de torsion était nulle, on aurait da." = d$' = d-f = o ; a", (3", y" seraient constants et le point j j. , serait un point fixe sur la sphère; on aurait d'ailleurs, en intégrant l'équation

a" oc -+- 6" S -+- y" y = o,

a" or -t- 3"jr -t- y* z = const

et la courbe considérée serait plane.

48. Formules de Serret-Frenet. — Nous ferons au sujet des axes de coordonnées une convention analogue à celle que nous avons adoptée dans le cas des courbes planes ; nous choisirons les axes de coordonnées de telle sorte que les deux trièdres OXYZ, MTNB aient la même disposition, le point de départ nous étant donné par la direction de la normale principale. Celte convention entraîne les conséquences suivantes : si nous considérons le déterminant

ce déterminant est égal à -pi, chacun de ses éléments est d'ailleurs égal en grandeur et en signe au mineur correspondant. On aura par exemple

a = p' f — y' 3", x' = v3" - py, a" = BY' - -J .

Différentions la seconde, ce qui donne

M = y d'ï— 3 df-h V <h - y* rfQ,