CHAPITRE X. — COURBES A DOUBLE COURBURE
ou, en tenant compte des équations (3) et (5),
rfa' = d,( py- f P' iht^CïP'- Py')>
OU simplement
rfa' = — a ds — a" efc =
( )u aurait des formules analogues pour rfjî' et rfy' ; ce sont les formules de Serret-Frenet.
Remarque. — On peut imaginer sur la sphère une troisième indicatrice qui représenterait les variations de direction de la normale principale. Les formules précédentes donneraient les cosinus directeurs de cette troisième indicatrice et l'angle des normales principales infiniment voisines serait mesuré par l'arc infiniment petit de celte courbe; en appelant dio cet arc infiniment petit
on a
dix}'2 = doc'2 -t- dfi'2 -+■ dy'2 = dz2 -f- dz2.
C'est le théorème que nous avons établi géométriquement au paragraphe 26.
Résumé. -— Nous résumerons dans le Tableau suivant les formules que nous venons d'obtenir et d'où l'on déduit sans difficulté toute la théorie des lignes à double courbure ; quatre de ces formules ne contiennent que des éléments relatifs à l'axe Ox ; chacune d'elles doit être accompagnée de deux autres analogues, relatives aux axes Oy et O2 :
.»' = <p(0, ~ = <KO,
ds2 = dx2 -t- dy2 -4- dz2,
du2 = dx2 -+- d$2 -+- dy2,
dz2 = doc"2 -h d$"2 -+- dy"2,
(A) { doc' = — ocdz — oi"dz, dz2-\- dz2 = doc'2 -f- dfi'2 -+- dy'2.
•r =/(0, dx = a ds, doc = oc' dz, da = oc' dz, doc' = — oc dz — a" dz,
a jS
= ds'
ds
On a de plus pour les équations des plans normal, oscillateur et
rectifiant :
(N) (X — x)dx + (Y — y)dy-h(Z — z)dz = o,
(X — x)(dyd2z — dzd2y)-^(Y — y){dzd2x — dx d2 z )
( Z — z ) ( dx d- y — dy d2x) = o,
j (X — x)(dsd2x — dxd2s)-h(Y — y) (ds d2y — dy d2s)
\ +(Z — js)(dsd*z — dzd*&) = o.
Calcul direct de la courbure. — Les formules du Tableau (A)
permettent de calculer la courbure -^ et la torsion = de proche en
Kl1
proche, c'est-à-dire en passant par le calcul des cosinus directeurs
de la tangente et de la binormale ; il est nécessaire d'en donner
une expression où ne figurent que les coordonnées xyz.
Considérons d'abord la courbure. En différentiant la formule
dx = a.ds , on a
d2 x = dix ds -4- a d- s ;
d'où, en ajoutant les carrés de cette formule et des deux formules analogues relatives à O y et Oz,
da2 ds"- = (rf*a?)*+ ( d2y )2 + (d2z)2 — (d2s )».
Si l'on prend pour variable t l'arc même de la courbe on a, en divisant par ds\
(7) fp-^+y*-*-*1,
formule qui ne donne lieu à aucune ambiguïté de signe, la courbure telle cjue nous l'avons définie étant essentiellement positive.
Supposons maintenant que la variable t ne soit pas spécifiée ; multiplions la formule précédente par ds2 en tenant compte de la relation évidente
ds d2s = dx d2 x -+- dy d2y ■+■ dzePz, il vient alors
ds^da2 = (dx2-±- dy*-*- dz2) [(d2x)2 + (d2y)2-h (d2z)2] — ( dx d2x ■+■ dy d2y -+- dz d2z)*,
ce qui peut s'écrire
ds**d<J2= (dy d2 z — dz d2y )* -t- ( dz d2 x— dx d2 z f- -+- {dx d2 y — dy d2x)*.
