CHAPITRE XI. — PROPRIÉTÉS DES LIGNES A DOUBLE COURBURE. l

3° La distance d'un point de la courbe au plan osculateur infiniment voisin est infiniment petite du troisième ordre. — Cel ordre s'élèverait d'une ou plusieurs unités si M0 était, soit un point d'inflexion, soit un point de stationnement.

Cette propriété est caractéristique du plan que nous avons appelé oscillateur; en d'autres termes, ce plan est. parmi tous ceux qui passent par M0, le seul dont la distance à M soit du troisième ordre. Soient en effet

L\ + (xY + vZ =o

l'équation d'un plan passant par M0 ; À, [/., v ses cosinus directeurs ; la distance o de ce plan au point M a pour expression

g = Xx ■+- \iy -+- vs,

elle esl donc du premier ordre si À est différent de o. Elle ne peut donc être du second ordre que si le plan considéré passe par la tangente à la courbe au point M0. Cette condition étant satisfaite,

8 aura pour partie principale, d'après les formules (i), jj.— — et, par suite, ne sera du troisième ordre que si ijl = o ; dans ce cas le plan considéré aura pour équation Z = o et coïncidera avec le plan xoy. Cette propriété caractéristique du plan déterminé par la tangente et la normale principale justifie la dénomination que nous lui avons donné prématurément de plan osculateur.

4" Si l'on envisage la projection de la courbe sur le plan des xz la troisième formule montre que, Z changeant de signe avec s, cette projection présente une inflexion au point M0 ; donc la projection de la courbe sur le plan perpendiculaire à la normale principale présente une inflexion au point M, et cette propriété justifie le nom de plan rectifiant.

5° D'après la troisième des formules (i), - est négatif, ^ et

— étant essentiellement positifs ('); ceci posé, imaginons un

observateur placé au point O {fig. 8i), debout sur le plan osculateur et tourné vers le centre de courbure ; les points de la courbe situés du même côté que lui par rapport au plan osculateur seront

(') Rappelons-nous que — représente la valeur absolue de la torsion, et non la torsion elle-même.

i se,