CHAPITRE XI. — PROPRIÉTÉS HHS LIGNES A DOUBLE COURBURE
[sinistrorsum). Supposons qu'on ait adopté, a priori, la première disposition pour le trièdre OX.YZ, sans se préoccuper de celle qu'allectera le trièdre MTNB; G sera négatif, d'après ce qu'on vient de voir, si celui-ci est orienté de gauche à droite, positif dans le cas contraire. On a donc, pour la valeur algébrique de la torsion,
50. Calcul de quelques infiniment petits. — Nous appliquerons d'abord les formules (1) au calcul de certains infiniment petits qui présentent un intérêt particulier.
1" Différence en Lie un arc infiniment petit et sa corde. — Soit / la longueur de la corde M0M ; on a
/2 = x*ou, d'après les formules (i),
; rs
ou
£,, étant un infiniment petit du cinquième ordre; on en conclut
d'abord que -^ a pour limite i, c'est-à-dire que la corde et l'arc
sont équivalents, ce que nous savions déjà; si l'on divise alors par s + / ou par l'infîniment petit équivalent 25, on voit que s—l est un infiniment petit du troisième ordre et a pour partie prin-
s3 cipale » d où
2" Aire du triangle dont les sommets sont trois points infiniment voisins. — Soient S l'aire d'un triangle M,M2M3 dont les sommets sont infiniment voisins de M0 ; S.f, Sr, S- les aires de ce triangle projeté sur les plans de yz, de zx, de xy . On a
1 yi
zi
I JK3
I Sa
■iS- =
1 a?, yx 1 a?2 JK2 1 ** J3
l88 DEUXIÈME PAKTIE. — COURBES PLANES OU GAUCHES.
On en déduit immédiatement que S^, Sv, S- sont des infiniment petits du cinquième, du quatrième et du troisième ordre respectivement. S et S; sont donc des infiniment petits équivalents
puisqu'on a
S*= S*-»-S»-hS|.
Le plan du triangle fait donc avec celui des xy un angle dont le cosinus a pour limite 1 et l'on en conclut le théorème suivant :
Théorème. — Le plan oscillateur en un point M est la limite du plan /tassant par trois points infiniment voisins du point M.
Quanta la partie principale de S-, ou de S, si Ton remarque que
les ternies de la troisième colonne contiennent en facteur — =r et
qu'on remplace chaque élément par sa partie principale, on voit que l'on a
= VET ( *1 — S-2 > ( S-2 — *S> (*3— s\ >• 4 K
s,, s.,, s3 étant les arcs M„ M , . M0Ma, M0MS. On a donc en définitive
/,. /j. /;, étanl les côtés du triangle Al, M2M3.
On déduit de là une conséquence importante; soit pie rayon du cercle circonscrit au triangle M,M2\I3. L'aire S de ce triangle
étant égale à '/ on voit que p a pour limite R. Si Ion remarque
de plus que le plan de ce cercle devient à la limite le plan osculateur et que son centre est évidemment situé dans la concavité de la courhe on est conduit au théorème suivant :
Théorème. — Le cercle circonscrit au triangle qui a pour sommets trois points infiniment voisins du point M a pour limite le cercle de courbure au point M.
Envisagé à ce point de vue, le cercle de courbure prend le nom de cercle oscillateur.
