CHAPITRE XI. — PROPRIÉTÉS DES LIGNES A DOUBLE COURBURE
3° Volume du tétraèdre formé par quatre points infiniment voisins. — Si l'on considère de même le volume du tétraèdre ayant pour sommet quatre points M , , M2, M3, M4, qui ont pour limite commune le point M0, on a
en observant les notations précédentes; on a donc
1 xt
sj
I St I *3
2 Rs T
I Xi
-2RïT
(Si
ou, en appelant p,, p2, ..., p6 les arêtes du tétraèdre
Sphère osculatrice. — 11 est naturel, après ce que nous avons dit du cercle osculateur, de chercher la limite de la sphère passant par quatre points M,, M2, M3, M4 ayant pour limite commune le point M0; remarquons que, si cette limite existe, la sphère limite passera nécessairement par le cercle de courbure et aura par suite pour centre un point de cet axe ; le centre sera donc la limite du point où cet axe rencontre le plan perpendiculaire au milieu du segment M, M2. Les coordonnées du centre limite sont donc données par les équations
Z(*j — zt) =
ROi— J'ai-
Le coefficient de Z dans la partie principale est (s'i — 5î)ë"RT' on a d'ailleurs :
ï+yï
l+yl + z\ =
si
*2 Sl
La dernière des équations donne donc pour Z, en divisan par 6 RT :
ds
Les coordonnées du centre de la sphère sont donc
as
Remarque. — Les coordonnées du centre de la sphère osculatrice sont, relativement à des axes quelconques, données par les formules
or i = x -+- a' R -+- a" h ,
(5) / a1== z -h- y'R+ "fh,
Différentions la première, ce qui donne, en tenant compte des formules de Serret,
dxx = -x ds — ( -jj -+- t=- ) R ds -+- % ( dR -+- — ds J -+- a" dh ;
le terme en a s'annule d'après la définition de h et l'on a simplement
dr\ = 3. idfi — t=- ds I
ou encore
hdxx = o.\hdh+- KdK).
d'où, en appelant /• le rayon de la sphère osculatrice qui est évidemment égal à y/R- + /(-,
(6) h dr{ = y." r dr.
On aurait deux formules analogues pour dy,, dz{ et l'on en déduit les conséquences suivantes :
i° L'axe du cercle de courbure est tangent à la courbe décrite par le centre de la sphère osculatrice ;
2° Lorsque le centre de la sphère osculatrice est fixe, son
