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Il suffit, pour se rappeler immédiatement les dernières, de se rappeler les expressions des quatre cosinus a, fi, y et fi'. Les valeurs de a", (3", y" se déduisent de celles de y, (3, a en échangeant les lettres R et T ; on a, de plus, fi -f- «' = (3"-f-y'= o. Toutes ces relations ne sont d'ailleurs que la traduction, en Analyse, des pro-

priétés générales d'un système de deux cônes supplémentaires. Observons enfin que les deux cosinus a" et y sont seuls du second ordre, tous les autres étant finis ou du premier ordre.

52. Enveloppe de chaque face du trièdre. — La caractéristique d'un plan mobile est, par définition, la limite de l'intersection de ce plan avec le plan infiniment voisin ; le point de rebrou ssement est la limite de l'intersection de la caractéristique avec le plan infiniment voisin.

Les formules (-) permettent de déterminer immédiatement l'enveloppe de chacune des faces du trièdre fondamental, c'est-àdire le lieu de sa caractéristique.

i° Enveloppe des plans normaux ; surface polaire. — La caractéristique est déterminée par les deux équations suivantes, prises à la limite,

X = o, PY + YZ = ix -v $y + '(z:

Y et Z, étant les coordonnées d'un point quelconque du plan mobile, doivent être considérées comme des quantités finies; si l'on réduit chacun des deux membres de la seconde équation à sa partie principale, la seconde équation se réduit à !3Y = <xx et devient à la limite Y = R, car -^ a pour limite R. Les équations de la caractéristique du plan normal ou droite polaire sont donc

on trouve ainsi l'axe du cercle de courbure.

Le point de rebroussement est donné par les trois équations

\ = o, Y = R, -;z = %x+ Pr — '(z— PR-

Dans la dernière le premier membre est du second ordre, dans le second $y et yz étant du troisième ordre peuvent être négligés ; on a d'ailleurs

ax — (3 R = s — R et l'équation se réduit alors à — Z

s s*dk) R + 2 ds /

2 ds