CHAPITRE XI. — PROPRIÉTÉS l»KP LIGNES A DOUBLE COURBURE
on en conclui, pour les coordonnées du point de rebroussemenl,
as
En résumé, le [don normal a pour caractéristique V axe du cercle de courbure et pour point de rebroussemenl le centre de la sphère osculatricc
La surface enveloppée par le plan normal a donc pour génératrice l'axe du cercle de courbure ; on lui donne le nom de surface polaire.
20 Enveloppe du plan rectifiant. — La caractéristique du plan rectifiant est la limite de la droite représentée par les deux
équations
Y = o, ot'X-f- -y'Z = a' se -h $'y-\-v'z.
Ici la seconde équation a pour premier membre une quantité du premier ordre, le second membre étant du second; on peut donc la remplacer par la suivante :
s v s ïïX__Z = o.
Les équations de la caractéristique sont donc Y = o, TX -+- RZ = o.
Si l'on appelle G l'angle de celte caractéristique, ou droite rectifiante, avec la tangente Ox, on a, d'après cela,
T (8) tang6=-^-
Quant au point de rebroussement, son Z sera donné par l'équation
z (y1— t a> ) = %'x +- py h ~('z
prise à la limite; le premier membre de cette équation étant du second ordre, si l'on néglige les termes du troisième ordre dans le second membre, on trouve immédiatement
ds ds
i()î DEUXIÈME PARTIR. — COURBES PLANES 01 GAUCHES.
!" Enveloppe du plan oscillateur. — La caractéristique du plan osculateur est la limite de la droite
le second membre est un infiniment petit <lu troisième ordre au inoins, le premier contient un terme du premier ordre provenant de (3" Y : cette équation se réduit donc à la limite à Y = o. Donc la tangente à une courbe coïncide à chaque instant avec la caractéristique du /dan oscillateur.
Le point de rebroussement est alors la limite du point dont les coordonnées sont
a" étant du second ordre et a." x + §*y-\-"fz étant au moins du troisième ordre, Z a pour limite o. Donc chaque point de la courbe considérée coïncide avec le point de rebroussement du plan osculateur.
En d'autres termes, toute courbe à double courbure peut être considérée comme arête de rebroussement de l'enveloppe d'un plan mobile dont l'équation dépend d'un paramètre unique. Mous verrons plus loin qu'on peut déduire de là un mode de représentation analytique analogue à celui qu'on obtient pour une courbe plane considérée comme l'enveloppe de ses tangentes.
53. Mouvement des arêtes du trièdre. — Lorsqu'une droite mobile D se déplace d'une manière continue, sa position dépendant d'un paramètre unique-, elle engendre une surface réglée et il y a lieu de considérer sur cette droite à chaque instant : i° l'angle e qu'elle fait avec la droite ])' infiniment voisine ; 2" la plus courte distance des deux droites D, D'; 3" enfin la position limite, sur D, du point où cette droite est coupée par la perpendiculaire commune à D et D' (point central); nous résoudrons ces trois questions pour chacune des trois arêtes du trièdre.
i° Mouvement de la binormale. — Considérons d'abord la binormale; quand on passe du point M„ au point M, elle passe de la position Oz à la position (B); soit l>( la projection de ( 15) sur le plan XOY; abaissons du point O. M0, la perpendiculaire <)ll sur (B,) et menons HI parallèle à OZ, puis !l„ parallèle à H< ).
