A'B'— AB~ BB"— A A

Si nous appelons a, [i les angles que font à la limite A A' et BB' avec la direction AB nous conclurons :

(2) A'B'— AB ~ BB'cosp — AA'cosa.

En langage ordinaire : la variation de longueur d' un segment rectiligne a pour partie principale la différence des déplacements de ses extrémités, projetés sur la direction du segment.

D'après la relation (2), si deux des trois infiniment petits A'B' — AB, AA'cosa, BB'cosfi, sont d'ordre supérieur au premier, il en est de même du troisième; or, si l'accroissement d'une fonction est constamment d'un ordre supérieur au premier, il est

rigoureusement nul et eette fonction est constante. On est donc conduit aux propositions suivantes :

i" Lorsqu'u/i segment reciiïigne se déplace de manière à rester normal aux trajectoires de ses deux extrémités, sa. longueur est constante ;

â° Lorsqu'un segment rectiligne, de longueur constante, reste normal à la trajectoire de V une de ses extrémités, il demeure également normal à la trajectoire de Vautre.

Considérons, par' exemple, une courbe (C) telle que son plan normal, c'est-à-dire le plan perpendiculaire à la tangente en chaque point, passe constamment par un point fixe A. Si B, B' sont deux points infiniment voisins de cette courbe la variation AB' — AB sera nulle, car A A' et cos-jiJ sont tous deux nuls dans le cas actuel; donc la distance AB sera constante; d'où il résulte que :

Toute courbe dont le plan normal passe par un point fixe appartient à une sphère ayant pour centre ce point.

5. Applications. — Cherchons, comme application de la formule (2), la direction limite du déplacement d'un point M donï les distances à n foyers F,« F2, • • ., F„ satisfont à des conditions données. Soient p,, p2, . . ., prt les rayons vecteurs du point M : ils sont liés par un certain nombre de relations identiques, puisqu'il existe une pareille relation entre les distances mutuelles de cinq points quelconques dans l'espace; nous n'avons donc à tenir

compte que des relations non identiques entre p,, z2 pH; el

celles-ci ne pourront être en nombre supérieur à deux ; nous en aurons une seule si le point M est astreint à rester sur une surlace. deux s'il décrit une courbe. On peut supposer qu'une pareille relation soit donnée sous la forme différentielle

( 3 ) Ai dpi ■+■ A.: dp% + ...+ A,, dpn = o,

A,, A2, ..., A;1 étant des fonctions données de p,, o2 pa.

Soient alors a,, a2, ..., a„ les angles (pie fait le déplacement du point M avec les directions F,M, F2M, ... si nous appliquons la formule (2) à chacun des rayons vecteurs, nous n'avons à tenir

INTRODUCTION. — IXF1MMKNT PETITS KN GÉOMÉTRIE. II

compte que du déplacement MM', les points F,, . . ., F„ étant supposés fixes. Nous aurons ainsi, en divisant par MM',

A i oo.S4i.H- A2 cosa2-+- . . .-r A„ cos.an =? o.

Menons à partir du point M dans les directions F, M, F2M, .... F„ M, des vecteurs respectivement égaux, eu grandeur et en signe, aux coefficients A,, A2, . . ., ÀM ; l'égalité précédente équivaut à

A cosw = o,

A étant le vecteur résultant, o l'angle que fait ce vecteur avec la direction MM'. Or A est différent de o puisque l'équation (3)

n'est pas vérifiée identiquement; l'angle co est donc égal à - et,

par suite, le vecteur résultant est dirigé suivant une normale au déplacement du point M. Si l'on a une seule relation telle que la relation (3), le déplacement ne peut s'effectuer que dans un plan perpendiculaire à la direction que nous venons de définir ; c'est le plan tangent en M à la surface sur laquelle le point est assujetti à rester.

Si le mouvement du point M est défini par deux conditions analogues, la tangente à la trajectoire sera perpendiculaire au plan déterminé par les deux résultantes correspondantes.

Remarque. — La solution précédente, duc au marquis de l'Hospital, repose sur ce fait que, pour évaluer la variation de chaque rayon vecteur, dans le passage du point M au point M', on n'a pas à tenir compte du déplacement de l'une des extrémités : celle qui coïncide avec le foyer fixe, origine de ce rayon vecteur. Or il en serait exactement de même si chacun des points F,, F2, . . ., F„, au lieu d'être fixe, avait un déplacement perpendiculaire au rayon vecteur correspondant; la construction à laquelle nous avons été conduits donne, par conséquent, la solution de ce problème général : Construire les normales à la trajectoire d'un point M dont on connaît la loi des distances normales à des courbes ou à des surfaces fixes données.

Ce qui précède suffit à montrer l'intérêt qu'il peut y avoir à raisonner directement sur les infiniment petits en Géométrie, sans

avoir recours aux procédés, ordinairement plus commodes à manier, mais souvent moins directs et moins lumineux, de l'Analyse mathématique. C'est cette méthode qui nous servira exclusivement, dans la première Partie de ce Cours, pour établir les propriétés générales les plus importantes des courbes planes ou gauches.

CHAIMTHK I.

<:oilltBl'RK I)KS LIGNES PLANES.