COURBURE DES LIGNES PLANES

Étude d'une ligne plane dans le voisinage d'un de ses points. — Courbure et cercle de courbure. — Cercle osculateur. — - définitions diverses du cercle osculateur. — Construction du cercle osculateur quand la courbe est définie géométriquement.

6. Étude de la courbe dans le voisinage d'un point donné. — Considérons sur une courbe plane donnée (Jig. 3 ) un point fixe quel-

Fig. 3.

conque A et un point mobile M que nous supposons infiniment voisin d<: \. Menons les tangentes AT0, Mï, et soit K leur point

d'intersection. L'angle T„ KT mesure la quantité dont la courbe s'écarte de la forme rectiligne, quand on passe du point A au point M ; on appelle cet angle l'angle de contingence en A ou encore la courbure totale de l'arc AM. Cet angle est, en général, un infiniment petit du premier ordre ; c'est en effet l'accroissement de l'angle e que fait la tangente mobile avec une direction

l4 PREMIÈRE PARTIE. — GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE.

fixe ; or si cet accroissement était constamment d'ordre supérieur au premier, cet angle z> serait constant et la ligne serait une droite. L'angle de contingence ne pourra donc être d'un ordre plus élevé que le premier qu'en des points particuliers de la courbe, et nous supposerons d'abord que le point A n'est pas l'un de ces points exceptionnels. Pour la même raison, l'angle A que fait la corde A M avec la tangente en A est du premier ordre en général. Il est entendu que nous prenons toujours comme infiniment petit principal, soit la corde AM, soit un infiniment petit équivalent, par exemple l'arc AM ou encore sa projection AP sur la tangente en A.

Ceci posé, dans le triangle rectangle APM on a

MP = APtangA.

MP est donc un infiniment petit du second ordre et sa partie principale est égale à AP multiplié par un facteur qui ne s'annule pas au point A et qui, par conséquent, conserve un signe constant de part et d'autre du point V, pourvu qu'on reste, comme on le suppose, au voisinage de ce point. On aura donc le même signe pour MP et pour M'P', les points M et M' étant de part et d'autre de A. Les points voisins sont donc d'un même côté de la tangente en A; celle-ci, en d'autres termes, divise le plan en deux régions dont l'une, à l'exclusion de l'autre, contient les points de la courbe infiniment voisins dé V; la première s'appelle la région de la concavité ; nous conviendrons de prendre pour sens positif, sur la normale en un point, celui qui va de ce point vers la région de la concavité.

La distance variable MP, étant du second ordre, a pour partie principale À/VP2, À n'étant pas nul au point A ; par suite, la tangente de l'angle de contingence, ou cet angle lui-même, a pour partie principale a)vAP (4 ). On a donc

K ~ ïUP.

i1) Il est permis de dériver une équivalence comme mie identité; l'équivalence y~j\x* revient en eflet à l'éi^u 1 i te y = [~^(x) -+- p.( x)]x", \>-(x) étant inlinitriént petit par rapport à ~^{x); d'où l'on déduit, puisque X' et u.' sont supposés avoir des limites linirs, }'\.-- -V ' ( //X -+- // ;jl -+- x\' ■+■ x u.' ) ~ n À:*"-1.