CHAPITRE XI. — PROPRIETES DES LIGNES A DOUBLE COURBURE. l

ds

L'angle £ est ici égal à -= par définition, la droite (H) a poui équations

< )n en conclut pour L'équation de (dî,)

d'où

On voit aussi que les coordonnées du point 1 satisfont à l'équa-

Fig. 82.

tion fi" Y -f- a X = o ; on aura donc pour le Z du point l0

En résumé, la question se résout par les trois formules (10) e = vV*-l-P'', 5= ^ PLr, Z

r^-(a".r -+- fi"j).

Pvéduisons chaque terme à sa partie principale en tenant compte des formules (7), nous trouvons :

(il) 1 = Tir» 8 = S, Z = o.

Donc, chaque point de la courbe est le point central de la

bi normale en ce point, et l'arc infiniment petit mesure la plus courte distance des deux binormales infiniment voisines.

■2° Mouvement de la normale principale. — Les équations relatives au mouvement de la normale principale s'obtiennent en modifiant les équations (10) par la substitution du plan des zx au plan des xj-, ce qui donne

e = /«a + ïa, o = ' , \=y- ? (ax + fz),

ou, en réduisant chaque terme à sa partie principale,

(I2) E = Vïïî+Ti' °=7IfTfi' Ys=r5TtT

La première de ces formules exprime le théorème de Lancrel relatif aux arcs infiniment petits de la courbe et de ses deux indicatrices sphériques.

.)° Mouvement de la tangente. — Substituant enfin le plan des yz au plan des zx1 les équations (io) deviennent

ds , ry — $z v a tn .

Il résulte de la troisième que X est infiniment petit; le point \l„ est donc le point central de la tangente, résultat déjà obtenu; on \<»it, de plus, que la perpendiculaire commune à deux tangentes infiniment voisines est dirigée suivant M0B, ce qui justifie le nom de binormale attribuée à cette direction. En ce qui concerne la plus courte distance o, on voit que yy et flz étant tous deux du quatrième ordre, S est du troisième et a pour valeur réduite

- ft g ~ ï~r - 1 sZ ( l

RT\ 6 4/ i2 RT'

cette dernière formule peut s'écrire, en appelant ff, t les arcs des deux indicatrices des tangentes et des binormales,