CHAPITRE Ml. — THÉORIE DES CONTACTS. i

I,i direction limite du segmenl M'M'( qui unil deux positions infiment voisines de M, ne soit tangente ni à (C) ni à (Ct). La loi de correspondance pourra d'ailleurs être quelconque et ne sera soumise qu'à cette seule restriction.

Ceci posé, il est aisé de voir que ce segmenl M'iM , est un infiniinenl petit donl l'ordre ne dépend en aucune façon de la loi de correspondance établie entre les <leu\ lignes (G) et (Ci). Le triangle M M' M', donne en effel i //>. 85)

M, M, = MM sinM — '

sinM',

Donc, si en prenant comme infiniment petit principal h ou Y\\\\ des deux arcs MM', M, M', l'angle M est infiniment petit de l'ordre //.

Fis. 83.

l'ordre du segment M, M, sera égal à /i + i et ne dépendra pas de la loi de correspondance.

Mous dirons que les deux courtes ont au point MM, un contact d'ordre n. lorsque l'angle M sera un infiniment petit de l'ordre //. ou, ce qui revient au même, d'après ce qui précède, lorsque le segmenl MM', qui mesure la dislance de deux points correspondants sera un infiniment petit de Tordre //+i.

Conditions analytiques d'un contact d'ordre n. — Soit/ la valeur du paramètre au point M, a, b,C les cosinus directeurs de M'Mr nous avons les égalités

aM'M', = /i( t-hh) — f{t + h i, h M ' M\ = ^(t -+- h) — cp( t -4- h ), cM'M', = tyi(t h) <\>(t-+- h ),

l'un au moins des trois cosinus ayanl une limite différente de zéro.

>00 DEUXIEME l'AUTiE. — COUUHES PLANES OU GAUCHES.

M M, ne peut être infiniment petit de Tordre n + i que si les trois seconds membres sont eux-mêmes de Tordre n-\-\. Réciproquement, si ces trois différences sont de Tordre n -+- i , Tune au moins n'étant pas d'ordre supérieur. M.' M , sera un infiniment petit d'ordre n -f- i et seulement de Tordre n -f- 1 . Si donc on pose

,D F(0=/i(0— /(Oi *(0 = <pi(0 — ?(0. W(j) = <li(() — '^n,

nous aurons les conditions d'un contact d'ordre n en écrivant que les trois quantités ¥(t -f- //), <ï>(* -h /*), V(*+ A), développées par la formule de Taylor, sont divisibles par //"+l, ce qui nous donne (3tt-f- 3) équations de conditions, savoir :

Tune au moins des trois dérivées d'ordre (n -+- r ) devant être différente de zéro.

Remarque. — Les conditions ci -dessus sont évidemment surabondantes; on peut en effet clioisir la loi de correspondance arbitrairement, telle , par exemple, que deux points homologues soient équidistants du plan àeayz] la fonction F est alors identiquement nulle ainsi que toutes ses dérivées; les n premières équations (2) disparaissent et il reste seulement 2/1 -f- 2 équations de conditions; si les équations de (C) sont v = /(^), '- = ®(#)j celles de C,) )-=/,(./•), ; = cp,(.r), les équations (2) se réduisent à

( o, (.r) = <f(x). o'1(07) = <p'(a?)1 ..., (p,{»{ = tp|»{.

Courbes osculatrices. — La courbe (C) étant donnée, si les équations de (C,) contiennent un certain nombre de constantes arbitraires, on peut disposer de ces constantes de manière à établir entre ces deux courbes, en un point donné de (C). un contact d'ordre 11 plus ou moins élevé. Te problème sera possible pourvu que 2/1 + 2 soit au plus égal au nombre îles paramètres disponibles qui figurent dans les équations de (C|): lorsque cet ordre de contact est le plus élevé possible, on dit que la courbe (G|) est, au point M, osculatrice à la courbe (G).