CHAPITRE Ml. — THEORIE DES CONTACTS. 2<>l
Un cercle, par exemple, est déterminé par six paramètres; on pourra donc, en un point quelconque de (G), construire un cercle ayant avec ((ï) un contact du second ordre au plus. Le cercle ainsi déterminé sera osculateur à (C). Remarquons encore que l'ordre de contact maximum est Limité, non seulement par le degré d'indétermination de (C,), mais aussi par les propriétés intrinsèques de la courbe donnée (G). Si par exemple les deux courbes sont l'une gauche et l'autre plane, il sera en général impossible, sauf en des points liés particuliers, d'établir un contact ^Tordre supérieur à deux. Pour discuter complètement la question, il suffit d'interpréter géométriquement, de la manière suivante, les conditions exprimées par les équations (2).
55. Condidions géométriques d'un contact d'ordre n. — Prenons pour points homologues deux points M', M', situés à la même distance curviligne du point commun et pour paramètre t l'arc MM' = M, M; =s.
Les cordes MM', M, M',, projetées sur OX, ont pour expressions développées, d'après les formules du paragraphe 49,
1 x — x = as (3)
7 ÏÏ "h6\a 17 ~R*~ RT/^-
a', s3 1 , Ri ai a" J
On aurait deux développements analogues relativement à chacun des axes OY et OZ.Les n -f- 1 premières équations (2) s'obtiendront en égalant, dans ces deux développements, les coefficients jusqu'à ceux de s'1 inclusivement.
Pour que le contact soit du premier ordre il fautqu'on ait a = a, , et de même, pour les deux autres axes fi= (i(, y = y(. En d'autres termes, il faut que les deux courbes se touchent au point commun M.
Les conditions relatives à un contact du second ordre s'obtiennent en ajoutant aux précédentes
><>.>. DEUXIEME PARTIE. — COURBES PLANES OU (iAUCHES.
ce qui peut, s'écrire, en remarquant que R, R.t sont essentiellement positifs,
«!=«': P',= P', Ti = T'. ri=r-
Il faut donc, pour que le contact soit «lu second ordre, que les deuxeourbes aient même direction de tangente, de normale principale et par suite de binormale; que, de plus, les deux courbures soient égales entre elles. En d'autres tenues, "les deux courbes doivent avoir même cercle de courbure.
Pour que le contact soit du troisième ordre, deux conditions nouvelles doivent être remplies; on doit avoir même coefficient de s3 dans les équations (3), d'où :
T T,' ds ds '
les deux* courbes devront donc avoir même torsion et même courbure dérivée.
Les conditions d'un contact d'ordre n sont alors évidentes ; dans les développements (3), les coefficients de s" sont de la forme
V y. -t- A' a' -+- A" a", Aj a + A', a' -+- A '{ a" ,
A, A'. A." étant des fonctions entières deïï. de ttt et de leurs dérivées
successives par rapport à s, \,, \j. \] étant composés de la même manière avec l'aide de tt- > =-• Il est clair qu'on csl ainsi conduit de proche en proche au résultat suivant :
Théorème. - — Pour que deux courbes (C), (Ci ) aient, en un point donné, un contact de V ordre n. il faut et il suffit : î" qu'elles aient en ce point même tangente et même direction de normale principale ; :>." que la courbure et la torsion soient égales sur les deux courbes, ainsi que les {n — 2) premières dérivées de la courbure et les [n — 3 l premières dérivées de la torsion par rapport à l'arc.
En conséquence, la droite osculatrice en un point est la tangente en ce point : le contact est en général du premier ordre : il ne peut s'élever au second que si la courbure, qui est nulle pour la droite.
