Autre forme des conditions de contact. — Revenons aux
conditions (2) et considérons en particulier les trois équations
/,(/!— /(,/), ç>i(£)= cp(£), <\)t(t) = ty(t)
dont toutes les autres se déduisent par n dérivations prises par rapport à t ; elles expriment simplement que le point M de (G) se trouve sur la courbe (C|). Or ce fait géométrique peut s'exprimer de bien des manières différentes; dans tous les cas, il se traduira par deux équations qui fourniront les deux premières conditions; toutes les autres s'obtiendront en dérivant // fois celles-ci par rapport au paramètre t. On peut par exemple définir (C, ) comme l'intersection de deux sut laies
Les deux conditions d'intersection sont alors
Pf/i / |, tpi / ), ip( t )\ = o, Q|/i / 1, 01 / 1. d/i 1 \] = 0,
■2(>i DEUXIÈME PARTIE. — COURBES PLANES OU GAUCHES.
et les conditions de contact prendront alors la forme d? d> V d" P
\ dt de1 ■ ' dt"
' 4 ' i rfQ «F Q rf" Q
rf* flfr2 dt"
Cherchons par exemple les conditions d'un contact du second ordre de (C) avec le cercle (G|) dont les équations sont
I x, — a 1'-— 1 ri — il2-r- { zx— c)i= p2, Xi a?j — a) -+- [x| j)-! — 6) -f- v(«i — c) = 0.
Si nous prenons pour variable t l'arc s de la courbe (G), les conditions d intersection
i.r — m'1 — ( r — i)2-ri;- cs > = p2, /.(.r — « 1 — |*( j' — b ) -+- v( \z — ci = o
devront être difïérentiées deux fois, en tenant compte des formules de Serret; on trouve ainsi
a (a? — a) -+■ (i ( y — b > — y 1 z — c) = o, À a -+- ;jl 3 -+- v y = o,
a'| ./ — a ) -r- Q'f y — b \ — y'(3 — c) == — R- /,a ~~ .aP'^~ vï' = °-
Si nous prenons pour origine le point M, pour axes de coordonnées la tangente, la normale principale et la binormale, ces six équations se réduiront à
a- — //- -+- c- = p2. a = o, b = R, La — \x b -+- v c = o,
ou
œ = c = o, /> = R, R = p, X = o, ;jl = o.
Le cercle oscillateur coïncide par conséquent avec le cercle de courbure.
Interprétation géométrique. — Supposons que la courbe (G) jouisse en un point donné M dune propriété géométrique s'expriiiinit par l'équation H(£) = o, on exprimera que cette propriété subsiste en un point infiniment voisin M' (/+/<,) en écrivant
H(*-+-Ai) = o, ..11 H(«)-+- hiH'(t-h%ihi) = 0, on ;i m r;« donc à la lois
