CHAPITRE XII. — THÉORIE DES CONTACTS

Si donc la propriété subsiste, quelque voisin que M' sera de M, on aura en ce dernier point

Lui d'autres termes on exprimera qu'un fait géométrique se produit à la fois en un point M et en un point infiniment voisin en dérivant l'équation H(f) = o.

Supposons un troisième point M" de paramètre < + /i2 où le même fait se produise; on aura, en tenant compte des deux équations précédentes,

H(*-t-A2) = H(0-H/î2H'(0-H— H"(*H-e2A2)= o, d'où

H(0 = o, H'(n = o, H"(t-hH2h.1) = o,

et, si cela a lieu quelque petit que soit A2,

H(0 = o, H'(*) = o, Hv(0 = o.

Le même raisonnement, continué de proche en proche, montre que les équations

H(t) = o, H'(0 = o, H"(0 = o, ..., EM(t) = o

expriment que la courbe (C) jouit, au point M et en « points infiniment voisins, de la propriété géométrique exprimée par l'équation

Il est évident d'ailleurs que si la propriété géométrique en question s'exprimait par deux équations H (t) = o, G ( i) = o, le raisonnement subsisterait sans modification.

Appliquons ce qui précède à la question du contact d'ordre «, nous sommes évidemment conduits au théorème suivant :

Dire que deux courbes ont, en un point, un contact de l'ordre n, c'est dire qu'elles ont en commun ce point M et n autres points infiniment voisins deM.

Supposons par exemple que, l'une des deux courbes étant donnée, l'autre soit déterminée de telle sorte qu'on puisse la faire passer par A points arbitrairement choisis; cette seconde courbe

■206 DEUXIÈME PARTIE. — COfRBKS PLANES OU'GAUCH KS.

sera osculatrice à la première lorsquelle aura avec elle un contact de l'ordre k — i .

< hi conclut encore de cette nouvelle définition que les projections des deux courbes sur un plan quelconque se traversent ou ne se traversent pas au point commun M, suivant que l'ordre de contact est pair ou impair.

57. Ordre de contact d'une courbe et d'une surface. — La seconde définition du contact présente l'avantage de s'étendre immédiatement à l'ordre de contact d'une courbe (G) et d'une surface (S). Nous dirons que cet ordre est égal à n si la courbe et la surface ont en commun le point M et n autres points infiniment voisins. Si l'équation de la surface est P(xiy, z{ \ = o, les équations de condition seront alors, pour un contact du nienu' ordre

Dr/, , 1 d? ^p Jnp

P[(/(OT(0*(0] = o, ^. = 0, -2P--0, ..-, -^ = 0.

Les équations (4) relatives au cas des courbes expriment, à ce nouveau point de vue, que la courbe (G) a un contact d'ordre n, au moins, avec n'importe quelle surface passant par la courbe (G,).

S urfaces osculatrices . — Lacourbe(C) étnnt toujours supposée fixe, supposons que l'équation P = o de la surface (S) contienne / -f- 1 indéterminées; on pourra en disposer de manière à établir, en un point quelconque de (G), un contact d'ordre n avec (S), n étant égal ou inférieur à k. Pour n = k — 1 la surface (S) est, parmi toutes celles qui satisfont à une même définition, celle qui aura avec (G) le contact de l'ordre le plus élevé; on dit alors que (S) est osculatrice à (G).

Plan oscillateur. — Supposons d'abord que la surface (S) soit le plan

Ecrivons que le point JNI de la courbe est dans ce plan et dérivons deux fois par rapport à l'arc s de (C), nous obtenons ainsi les équations de conuitions

)^+ \xy -1- v z = m .

À a -+- fif$ -+- yy = o, X a' -+- [x (3' -t- v y' = < >