CHAPITRE Ml. — THEORIE DES CONTACTS
et, si Ton réduit aux axes particuliers employés plus haut.
Le plan osculaleur est donc- celui que déterminent la tangente et la normale principale.
Sphère osculatrîce. Considérons encore la sphère
m l'on exprime qu'elle contient le point x, j-, ; et qu'on dérive trois fois l'équation ainsi obtenue, on trouve, pour déterminer la sphère osculatrice, les équations
ce \ .v — a) -+- p {y — b ) -+- y (a — c) = o,
r. , , rrdR
y. (x — a) — .5 1 r — fcn +7 ( s — c) = r — — ,
as
résultat identique à celui que nous avons trouvé par une autre méthode (page 190). Remarquons seulement qu'en dillerentiant la dernière des équations précédentes, ce qui donne
o< , r, m d /„, dR
et combinant ce résultai avec 1 avant-dernière équation on obtient
H d ( dR\
(D) T->-ds-{Tlù)=0-
Cette relation définit les points de la courbe (C) où le contact avec la sphère osculatrice est du quatrième ordre. On voit sans
do peine qu'elle peut se mettre sous la forme simple û-^-=o. Le
rayon de la sphère osculatrice passe donc, en un pareil point, par un maximum ou par un minimum; remarquons enfin que l'équation précédente, supposée vérifiée en tous les points d une courbe donnée, exprime la condition nécessaire et suffisante pour que cette courbe soit sphérique.
Courbe gauche définie par V ensemble de ses plans oscillateurs. — On peut déduire, de ce qui précède, un mode de repré-
■2o8 DEUXIÈME PARTIE. — COURBES PLANES OU GAUCHES.
sentation analytique d'une courbe gauche, analogue à celui que nous avons donné pour une courbe plane considérée comme enveloppe de ses tangentes. Considérons le plan mobile ayant pour
équation
x sin/ — y cost -+- \i.z = H,
jjl, H étant des fonctions données de l'angle t que fait avec Ox la trace de ce plan sur le plan des xy ; u. est la cotangente de l'angle 9 que fait ce plan avec xOy; H(tf) est la distance du plan à l'origine O. Si ce plan reste, lorsque t varie, osculateur à une courbe (G), les coordonnées du point d'osculation sont déterminées d'après ce qui précède par les trois équations
x sin / — y cos/ -t- fx z = H, x cost -\- y si n t -+- jjt* z = H', — x sin / -H y cost -+- y." z = H"; d'où, en posant
fi + fl
!a? = ( H — X}x ) sinZ-t- (H' — X[jl') cos/, y = (H'— Au') sin/ — (H — ).;ji )cos/, a =X(0-
Ces formules permettraient de déduire des fonctions H(/), [*(£) toutes les propriétés de la courbe. Elles donnent pour les cosinus directeurs de la binormale et de la tangente, pour l'arc, pour la courbure et la torsion, les expressions suivantes :
sin t — cos t \x i/T-i P Y
p. sin/ -+- [x cos/ (J. sin / — jjl cost — i i/ï "+" a2-+- il'1 ds = X' ( / ) \/i -I- jlx2 — l— ji.'2 ûfr,
X' , „. (1-4- fi'*)2 X' I
( i -+- jji2 4- [a. 2 ) -
Les cosinus directeurs a', (}', y' de la normale principale se déduiraient de ceux de la binormale et de la tangente par les formules a'= y (3" — j3y", ....
