CHAPITRE 1. — COURBURE DES LIGNES PLANES. I

Ml* ...

Mais l'angle A a pour tangente — ^ ; il a donc pour partie principale XAP. On a donc K ~ 2 A, d'où le théorème suivant :

Théorème. — La corde d'un aie infiniment petit fait, avec les tangentes aux extrémités tic cet arc, deux angles équivalents ; en d'autres termes, le triangle formé par la corde et les deux tangentes doit être considéré comme isoscèle, au point de vue infinitésimal*

Prenons alors', de part et d'autre de A, des arcs infiniment pelils M'A, MA ; en appliquant le théorème à chacun de ces deux arcs, on voit que l'angle M'AM est équivalent au supplément de la demi-courbure totale de lare MM' ; et cela a lieu quelle que soit la position occupée par A sur l'arc MM'; tous les angles inscrits dans l'arc MM' sont donc équivalents ; cet arc se comporte donc, au point de \ ne de sa courbure, comme l'arc de cercle déterminé parles trois points Y, M, M'. D'autre part, ainsi que nous le verrons plus loin (§ 12), étant donné un arc de courbe MM', on peut toujours déterminer le point A, intermédiaire entre M et M', de telle sorte que l'arc de courbe soit rigoureusement égal à l'arc de cercle qui passe par les trois points. On voit qu'on pourra dès lors, dans un grand nombre de questions, remplacer le segment curviligne infiniment petit, dont la corde est MM', par le segment de cercle capable de la demi-courbure totale de l'arc MM'. Nous reviendrons plus loin sur ce procédé de démonstration (§ 12).

7. Courbure en un point. Cercle de courbure. — Menons, par le point M, une parallèle MT, à la tangente en A {fig. 3) et décrivons, de M comme centre, avec un rayon égal à l'unité, l'are de cercle T,T. Cet arc mesure la courbure totale de Tare AM ; le

rapport W est la courbure moyenne de ce même arc AM.

rr arc AM ^

Ces deux arcs, comptés, l'un de A vers M, l'autre de T, vers T, sont évidemment de même signe ; ce sont des infiniment petits du même ordre ; la courbure moyenne a donc une limite positive, lorsque M se rapproche indéfiniment de A; cette limite est ce qu'on appelle la courbure au point Y. Remarquons que la direction limite d'un vecteur T,T est précisément celle de la normale au point A, telle que nous l'avons définie, car une parallèle a

l6 PREMIÈRE PAHTIE. — GEOMETRIE INFINITESIMALE.

ce vecteur, menée du point A, serait évidemment dirigée dans la concavité de la courbe.

Lorsque la courbe considérée est un cercle, la courbure totale d'un arc quelconque est mesurée par le rapport de l'arc au rayon ; la courbure en chaque point de ce cercle est donc constante et égale à l'inverse du rayon. Dans le cas d'une courbe quelconque, la courbure variera d'un point à un autre ; portons sur la normale au point A, dans le sens positif, un segment AC égal à l'inverse de la courbure au point A, et décrivons, du point C comme centre, un cercle passant par le point A ; la courbe et le cercle se toucheront en A et auront en ce point même courbure. Le cercle ainsi construit s'appelle le cercle de courbure, son rayon R est le rayon de courbure au point A, son centre C est le centre de courbure.

On peut donner une autre définition du centre de courbure. Soit en effet C le point où la normale en M rencontre la normale en A; en évaluant MH perpendiculaire à AC dans les deux triangles rectangles A.HM, HG'M, on a

AM cosPAM = MC'sinC.

Passant à la limite en observant que C est égal à la courbure totale de l'arc AM, nous aurons

IimMC'=lim4^ = R-

Gomme d'ailleurs le point C est évidemment situé dans la concavité de la courbe, on en conclut le théorème suivant :

Théorème. — Le centre de courbure en un point A est la limite du point d' intersection de la normale en A avec la normale au point infiniment voisin.

8. Cercle osculateur. — Le cercle de courbure peut être défini de plusieurs autres manières. Considérant, en premier lieu, le cercle variable qui touche la courbe en A et qui passe parle point M;

dans ce cercle l'angle MAP a pour mesure le rapport de l'arc AM au diamètre. Or cet arc de cercle est équivalent à l'arc delà courbe elle-même; d'autre part, l'angle MAP est équivalent à la moitié de