CHAPITRE XII. — THÉORIE DES CONTACTS

La dernière formule est particulièrement simple ; aussi ce mode de représentation est-il surtout avantageux dans l'étude d'une courbe qui jouit dune propriété spéciale, relativement à sa torsion.

Proposons-nous par exemple de déterminer la courbe dont la torsion est une constante ou, plus généralement, une fonction ®(t) de l'angle t . Laissant arbitraire la fonction u, on déterminera X par la quadrature

H se déterminera ensuite par l'intégration de l'équation

Il -i- H"= A( [A-+- </' i = •>( t),

intégration qui se ramènera à deux quadratures

II = s'mt I ty(t) cost dt — cosi / h(t\ sin t dt.

58. Contact de deux surfaces. — Revenons à la théorie générale et considérons deux surfaces S, S, ayant un point O commun; établissons entre les points M, M| de ces deux surfaces une correspondance de nature quelconque, telle toutefois que le point O se corresponde à lui-même et que la direction limite du vecteur MM, ne devienne tangente à aucune des deux surfaces, lorsque les points M et M, viennent se confondre avec O; dans ces conditions, l'ordre de l'infiniment petit MM, sera, comme dans le cas de deux courbes (§ oG), indépendant de la loi de correspondance; si cet ordre est, en général, égala /? —)— i , et supérieur à n -h i pour certaines directions de OM, nous dirons que S et S, ont, au point M, un contact d'orde n ; les projections du vecteur MM, sur les trois axes seront alors toutes trois de l'ordre n -t- i au moins, l'une au moins n'étant pas d'ordre supérieur.

Ceci posé, nous pouvons établir la loi de correspondance au moyen d'un même système de deux variables n, v, en fonction desquelles nous exprimerons les coordonnées de M et de M, ; soit alors H (m, v) = o l'équation qui exprime que le point (m, v) de S appartient à S,.

Un raisonnement identique à celui du paragraphe 06 nous donne, pour les conditions analytiques d'un contact de l'ordre /i, les égalités suivantes :

H = o, dH=o, û?2H=o, ..., d'lH = o (d»+iH^o) D. 14

où dh représente la diflérentielle totale d'ordre Â, et qui doivent être vérifiées identiquement, c'est-à-dire quel que soit le rapport -j- ; en d'autres termes : la fonction H devra être nulle identiquement, ainsi que toutes ses dérivées partielles Jusqu'à l'ordre n -4- i , exclusivement.

Un trouve ainsi conditions de contact; il reste a

en donner l'interprétation géométrique; nous ne le pourrons

qu'après avoir défini les éléments géométriques qui caractérisent

une surface en un point donné (voir Chap. XV, § 73).