APPLICATION DE LA THEORIE GÉNÉRALE A DES COURUES PARTICULIÈRES
Hélices cylindriques ; hélice circulaire ; l'hélicoïde
gauche a plan directeur. hélices coniques; hélice
cylindroconique. courbes a courbure constante.
Courbes de Bertrand.
59. Hélices cylindriques. — L'hélice générale étant par définition la courbe dont la tangente fait un angle constant avec une direction fixe(D), une telle courbe sera complètement déterminée quand on connaîtra cet angle ainsi que la section droite du cylindre qui l'admet comme directrice et dont les génératrices sont parallèles à (D). Prenons pour axe des z une parallèle à (D) et soient
ar = X(0, y = f*( 0,
les équations de la section droite, projection de la courbe sur le plan des xy; t étant l'arc indéfini de cette projection, si l'on appelle cp l'angle que fait sa tangente avec OX, on aura d'abord pour l'hélice
a ds = X'( t ) dt = dt coste .
3 ds = [x'( t ) dt = dt sinct.
Y ds = ds cos i,
en conservant toujours les notations dont nous nous sommes servi jusqu'ici et en désignant par i l'angle que fait avec OZ la direction de la tangente.
On déduit de ces relations
ds sin i = dt,
et pour les cosinus directeurs de la tangente
(i) a = sint coscp, B = sint sincp, y = cosi,
(2) dt = ds sini.
Nous pourrions prendre pour a, jB, y des valeurs égales et de signes contraires à celles-ci; adopter les formules (1), c'est, comme nous le verrons plus loin, supposer l'angle i obtus ; quant à la formulera), elle suppose qu'on donne le même signe à des arcs correspondants de l'hélice et de la section droite. La dernière équation s'intègre immédiatement et met en évidence cette propriété que tout arc de V hélice est dans un rapport constant avec sa projection sur le plan de la section droite. Cette propriété est d'ailleurs caractéristique et peut servir de définition à l'hélice.
Normale principale ; courbure. — Difïérentions les relations (1) en tenant toujours compte des formules de Serret, nous obtenons ainsi
— ds = — sim'sincp rfa», -^-cfa = siru cosçc?», y'=o.
rt ' n
Donc, la normale principale est constamment parallèle au plan de la section droite; elle coïncide, en direction, avec la normale de la section droite; cette propriété est encore caractéristique, car la condition y'= o est équivalente à -j- = o et ne peut
être satisfaite que si y a une valeur constante; donc, toute ligne dont la normale principale reste parallèle à un plan fixe est une hélice tracée sur un cylindre perpendiculaire à ce plan.
D'autre part, si l'on désigne par r le rayon de courbure de la section droite, les valeurs de % et (3' prennent la forme
, a . . . dt ,3' . , dt
as— = — sm 1 sino — > ds ^r- = sm 1 cos 9 — 1
d'où enfin
(3) »'= — sin«, !3'=cosœ,
... 1 sin* i
liinormale. Torsion. — Les cosinus directeurs de la binor-
