CHAPITRE lin. — COURBES GAUCHES PARTICULIÈRES. 2l

maie se déduisent de ceux de la tangente et de la normale principale par les formules

a" = pY' Yp', [5" = Ya' — ay\ y" = ap'— (Ja', qui deviennent, d'après les formules (i) et (3), < ") i x*= — cosicos©, P"= — cos t sintp, Y*=smi"

De la dernière, on déduit cette propriété nouvelle :

Le plan oscillateur de l'hélice fait un angle constant avec le plan de la section droite.

Il est visible d'ailleurs que l'équation y = const. entraîne y' = o et ne peut convenir, d'après ce qui précède, qu'aux hélices ou aux courbes planes qui en sont un cas particulier ; donc, réciproquement, toute courbe dont le plan oscillateur fait un angle constant avec un plan fixe est une hélice.

Il reste à calculer la valeur absolue ~ de la torsion; le signe de ■= sera déterminé par la disposition de l'hélice (§ 48). Pour avoir =,

appliquons les formules de Serret aux cosinus directeurs de la binormale, ce qui nous donne

y.' , sinœ , . . dt

■= as = =r- as = cos i sin o — >

ou, en simplifiant,

i sin i cosï

Cette valeur de ™ devant être positive, l'angle i est certainement

obtus, ainsi que nous l'avions prévu; il résulte d'ailleurs, de la formule (5), que la binormale fait avec OZ un angle aigu, égal

;'i i — -; la disposition de l'hélice est donc sinistrorsum dans 1 hypothèse où nous nous sommes placés, et la torsion — est, pav

suite, positive; pour la disposition contraire, il faudrait changer de signe les seconds membres des formules (i). Des formules (5) et (6) on déduit le théorème suivant :

Théorème. — La courbure et la torsion varient l'une et

ï autre, quand on parcourt l'hélice, proportionnellement à la. courbure de la section droite.

Corollaire. — Dans toute hélice le rapport de la courbure à la torsion a une valeur constante.

La réciproque est exacte et l'on a le théorème suivant :

Théorème (Bertrand). — Toute courbe dont la courbure et la torsion sont dans un rapport constant est une hélice.

On a, en effet, d'après les formules générales,

dz" 4^ df R ~d\ ~ ~dj ~ 7/y~ - T '

Si ^ a une valeur constante À, ces trois équations s'intègrent et l'on a, rt, b, c étant trois constantes,

a" = k a -+- a, $" = k fi -+- b, y" — k y -+- c ;

d'où, en multipliant par a, fâ, y et ajoutant,

k ■+■ ara -i- b (3 -+- cy = o ;

cette équation exprime bien que la courbe est une hélice, puisque la tangente fait un angle constant avec la direction fixe qui a pour cosinus directeurs

T Remarquons encore que légalité rr == — tang/ nous donne pour

l'angle «la valeur que nous avons trouvée pour l'inclinaison d'une ligne quelconque sur sa droite rectifiante, d'où l'on conclut que la droite rectifiante d'une hélice coïncide avec la génératrice du cylindre sur laquelle elle est tracée. Cette propriété résulte d'ailleurs de ce fait que le plan tangent au cylindre est perpendiculaire à la normale principale.

Remarque. — Quand on passe d'un point M d'une hélice à un point M' infiniment voisin, la normale principale s'élève d'une quantité dz au-dessus du plan des xy et tourne en même temps