CHAPITRE XIII. -- COURBES GAUCHES PARTICULIÈRES
dz do
dz autour de O; d'un angle <-/cp. Le rapport différentiel -r- est ce qu'on
peut appeler le pas de V hélice au point M.
La valeur nr de ce rapport se calcule sans difficulté, on a
. . dz ds cos i . dt
(7) TTT = -=- = ; = COt l -7- = /' COU.
do do do
Ce pas varie donc, quand \I se déplace, en raison inverse de la courbure de la section droite. Il reste constant dans un cas seulement, celui où la section droite est un cercle.
Hélice circulaire. — Lorsque la section droite est un cercle, /■ a une valeur constante et il en est de même, d'après ce qui précède, du rayon de courbure et du rayon de torsion. Donc, tout le long d'une hélice circulaire, la courbure et la torsion restent l'une et l'autre constantes.
Réciproquement, on peut énoncer le théorème suivant :
Théorème (Puiskux). — Toute courbe dont la courbure et la torsion sont, Vune et Vautre, constantes est une hélice tracée sur un cylindre de révolution .
T En effet, le rapport -^ est évidemment constant pour une telle
ligne ; c'est donc une hélice d'après le théorème de Bertrand ; d'un autre côté, /• doit rester constant puisqu'il varie proportionnellement à R(ou à T) qui conserve une valeur constante. La section droite, étant une ligne plane à courbure constante, est donc un cercle, et l'hélice est circulaire.
Considérons, relativement à cette hélice particulière, la surface gauche formée par les normales principales. Chacune des normales principales a pour projection sur le plan de la section droite le rayon correspondant; cette projection passe donc par un point lîxe qui est le centre de la section droite. Toutes les normales principales rencontrent donc l'axe du cylindre et forment par conséquent un conoïde droit auquel on donne le nom d: hélicoïde gauche à plan directeur.
Le pas de l hélice -s- étant constant dans le cas actuel, la aéné- 1 do ' ■ °
ralrice de l'hélicoïde rencontre l'axe à angle droit et s'élève le long
2l6 DEUXIÈME PARTIE. — COURSES PLANES Olî GAUCHES.
de cet axe en tournant autour de lui d'un angle proportionnel au déplacement de son pied sur l'axe. Ceci posé, cherchons le lieu d'un point M, de cette droite mobile, situé à une distance constante r, de l'axe O;. Les coordonnées de ce point sont, en appelant h la distance du point 1\1, au plan xOy,
a?i = r|Sin<Bj y\ = — ri çoscp, z\ = /i
d'où en différentianl
dx\ = /'i coscp do. dy\ = i\ sincp do, .dz% = dh = w «<p,
73 étant le pas de l'hélice ; d'où
dsy = do yr\
La dernière formule donne alors
/rf -+- w"-
Le lieu du point M, est donc une hélice ; cette hélice appartient à un cylindre de révolution ayant pour axe () z. Son pas est indépendant de /•, et égal à rn. L'angle sous lequel elle coupe les génératrices du cylindre a, d'après la formule (-), pour tangente — et
son cosinus est bien égal à la valeur ci-dessus trouvée pour v. On est ainsi conduit au théorème suivant :
Théorème. — Les génératrices de l'hélicoïde gauche sont les normales principales d'une infinité d'hélices de même pas et de même axe, Vaxe commun étant celui de l'hélicoïde.
(M). Hélices coniques. — Nous appellerons hélice conique la courbe qui coupe sous un angle constant j les génératrices d'un cône.
Si l'on appelle / la distance d'un point quelconque de la courbe au sommetS du cône, on a évidemment
dl = ds cosy.
G est tout ce qu'on peut dire de L'hélice conique, si on laisse à la définition toute sa généralité. Supposons que cette même courbe soit encore une hélice pour un second cône de sommet S*:
