COS

cosy

Il est aisé de voir ce qu'est la section droite du cylindre. On a, en effet, en appelant c le rayon vecteur du point m, projection de IVt sur le plan de la section droite,

p = /sin8 = ctangO, dp = ds cos/ tangO — dt tangO cou

et, si l'on appelle V l'angle sous lequel cette section droite coupe le rayon vecteur Om,

dp = dt cos V = dt langO cou".

L'angle V est constant; donc :

Lorsqu'une hélice est cylindroconique, le cône qui la porte est de révolution; la section droite du cylindre est une spirale équiangle, dont le point asymptote est sur Vaxe du cône, et dont le plan est perpendiculaire à cet axe.

On sait que le rayon de courbure de la spirale logarithmique esl une fonction linéaire de l'arc ; dans le cas de l'hélice cylindroconique /• est donc une fonction linéaire de /; et, comme le rapport

— reste constant tout le loni; de la courbe. R est une fonction /■ °

linéaire de t; R est donc une fonction linéaire de s puisque s et t sont dans un rapport constant.

Réciproquement, si R est une fonction linéaire de s sur une hélice

donnée, le rapport -r- conservera une valeur constante; il en

dr sera de même de -t-j puisque R et s sont proportionnels, l'un à /■,

l'autre à t. La section droite sera donc une spirale logarithmique et, par suite, l'hélice en question sera cylindroconique, d'où ce théorème :

Pour qu'une hélice soit cylindroconique, il faut et il suffit que son rayon de courbure soit une fonction linéaire de l'arc.

Remarque. — On peut évidemment, dans cet énoncé, remplacer le rayon de courbure par le rayon de torsion, puisque leur rapport, pour une hélice quelconque, a une valeur constante.

Les propriétés de l'hélice cylindroconique ont une grande analogie avec celles de la spirale logarithmique. Cherchons, par exemple, le lieu du centre de courbure de l'hélice. L'abscisse x{ du centre de courbure est, pour une courbe gauche quelconque, donnée par l'équation

(8) r, = .r— Rot'; d'où, en différentiant,

/* »'\n j . ,„ i ,dR „ R\ .

(9) «! dsy = a ds — I — -f- 7?r ) R as ■+■ x </R = ( a — — a — I ds,

et l'on aurait deux relations semblables pour déterminer (3, et y, . ( )r

—r et — sont des constantes si la courbe est une hélice cylindrods T . J

i dR

R ds a

fia"

T ds