CHAPITRE XIII. — COURBES GAUCHES PARTICULIERES. ' l
conique; on en conclut, en ajoutant les carrés de ces trois équations, que -7- est une constante que nous appelons K. Si l'on ajoute
d'autre part Jes équations précédentes multipliées par a, (3, y, il vient
les tangentes en des points correspondants de l'hélice et de la courbe cherchée sont donc rectangulaires. JNous avons d'ailleurs, en prenant l'axe des z parallèle à celui de l'hélice,
Kyi = — ^7 =— ^sini,
d'où y', = o. Le lieu cherché est donc une hélice ayant même plan directeur que la proposée. Si maintenant on différence a,, ,3,, y, pour avoir les cosinus directeurs de la normale principale, on a trois formules analogues à la suivante :
les trois coefficients de a, a', a", au second membre, sont évidemment proportionnels à ^« On conclut de là que le rapport
-=i reste constant; dès lors, R étant une fonction linéaire de s, qui R
est lui-même une fonction linéaire de s<,R( est une fonction linéaire de s,; donc enfin la seconde hélice est cylindroconique (').
Le lieu des centres des sphères osculatrices se détermine de la même manière.
L'abscisse d'un point quelconque se déduit de celle de l'hélice donnée par la formule
D , -dR „
ds
On en déduit, en différentiant,
a2 ds2 = a ds-R(- + ^ j ds-*\ = - (a + -a j ds.
Cette formule, absolument semblable à la formule (9), con- (') Tissot, Nouvelles Annales, i852, p. J55.
du irait aux mêmes conséquences; nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
Théorème. — Le lieu des centres de courbure d'une hélice cylindroconique et le lieu des centres des sphères osculatrices sont des hélices cylindroconiques ayant même plan directeur que la proposée.
61. Courbes à courbure constante. — L'hélice cylindroconique est un cas particulier des courbes dont le rayon de courbure est une fonction linéaire de l'arc. Parmi ces courbes, celles dont la courbure est constante partagent avec les lignes sphériques la propriété d'avoir une sphère osculatrice de ravon constant (§ 50). Cherchons les relations qui existent entre une courbe à courbure constante (C) et le lieu géométrique (C() de son centre de courbure.
Les coordonnées du centre de courbure sont données par les formules
a?, = x -t- Ra', jl=y-\-R^', s1=*-4-Ry',
d'où, en différentiant et en tenant compte de la condition </R = o,
a' Pi Y' R ds a" 3" y" T dsi'
la courbe (C,) est donc tangente à l'axe du cercle de courbure, ce que nous savions déjà, cette propriété ayant été démontrée (§ 50) pour toute ligne à double courbure. Si maintenant nous prenons pour sens du mouvement sur (Ct) celui qui corres-
ds pond au sens du mouvement sur (G), en sorte que -j— soit positif,
nous pourrons mettre les relations précédentes sous la forme o Q, . dsx R
(io) «, = — «, pi= — p j vi = — v- "57 = T'
I )illt rentions ces équations; nous obtenons, pour déterminer la normale principale de (C,) et sa courbure :
ÏÏT^'=-T^
d'où
