CHAPITRE XIII. — COURBES (iAUCHES PARTICULIERES

Donc, les normales principales sont parallèles et de sens contraire pour les deux courbes (G) et (G,); les courbures sont égales; ces deux propriétés sont contenues dans le théorème suivant :

Théorème. — Une ligne à courbure constante et le lieu 'le ses centres de courbure sont des courbes réciproques ; en d 'autres termes, la première est, à son tour, le lieu géométrique des centres de courbure de la seconde.

Passons à la hinormale et à la torsion de (C,). On a, soit endiiférentiant les formules générales, soit en tenant compte de la réciprocité des deux courbes,

"" T ~ "p" ~ Y ~ '' dst ~ T, "

D'où, en multipliant membre à membre la dernière des formules (10) et la dernière des formules (i i)

(12) R*=T.Tt.

Toutes ces propriétés se résument dans l'énoncé suivant :

i° Les courbes (G) et (G,) ont même courbure constante ;

2° Elles se correspondent point par point, de telle sorte que chaque point M de l'une soit le centre de courbure de Vautre relatif au point correspondant M, ;

3° La tangente en un point de l'une est parallèle à la binormale au point correspondant de l'autre et dirigée en sens contraire ;

4" Le produit des torsions des courbes (G), (G,) en des points correspondants est constant et égal au carré de la courbure commune.

6!2. Courbes de Bertrand. — Gomme dernière application, cherchons à quelles conditions une courbe (C) admet, comme normales principales, les normales principales d'une seconde courbe (C,). Soient M, M, deux, points correspondants sur les deux lignes (G) (C,), / la longueur évidemment constante du vecteur MM,; les coordonnées de ces deux points satisfont alors

aux trois équations

a?i = a*.4-a7, yi = y-±- fi'/, zi = z ■+■*('!, qui donnent, par la difterentiation,

ds, / / \ J

et deux formules analogues. Si nous posons

(12) i———hco?,i. Y=/lsint'

ces trois formules deviennent

{ a1t=acos« — a"sini, pt = (îcosi — {3'sios, 71 = 7 cos e — ysini, I dsi= h ds

et l'on voit que la tangente à (G,) fait avec la tangente à (G) un angle précisément égal à cet angle /.

Difiérentions les formules (i3) en tenant compte de ce que

y.\ = a', [j[ = ,3', y< = Y'' il vient alors

, h et' . a' „ .. di

a' — = -5-cosî — — sin* — ( a sin? -f- a" cosj)-j-> Kl n l ds

et des formules analogues; les coefficients de a, a', a!' doivent être nuls tous trois, ce qui donne

V angle i doit donc être constant; la condition cherchée s'obtient

en éliminant h entre les relations (12) et peut s'écrire, en posant /

sinï cost 1

La condition cherchée est donc que la courbure et la torsion de (G) satisfassent à une équation linéaire ; deux points correspondants sont à une distance constante l'un de Vautre; les tangentes aux deux courbes conjuguées (C), (G,) en deux points homologues font un angle constant (').

(') La relation (i3) se réduit à - = — cot i lorsque / est infini. La courbe (C)

est alors une hélice d'après le théorème de Bertrand et la courbe (C,) se réduit à la droite d'intersection du plan de la section droite avec le plan de l'infini.

COSl

sin i

Ts = °-