CHAPITRE XIII. — COURBES (iAUCIIES PARTICT7LIEBES

On obtient, ensuite les cosinus directeurs de la binorinale de (G)) par les formules

»? = PiY' -YtPS a',' = y'( ^ cosi — 'f sint) [il ■; cos« — y" sin î) = a" cos/ -+- a sin t.

Enfin la torsion =- est donnée par la formule

îrA = Tcos.+ T«n,l

ou, en simplifiant,

h cosï sint sin/ i Ti T R la

On en déduit immédiatement que le produit des torsions „ > est constant et donné par les formules

i sin'-r i

tt7 = ~F~ = ^

Remarque. — Si les normales principales de (C) devaient être normales principales de deux autres lignes (Gt), (C2), deux équations de conditions telles que ( i5) devraient être vérifiées en même

temps; -i — seraient donc l'une et l'autre constantes, et la courbe

serait une hélice circulaire; les normales principales formeraient un hélicoïde réglé et seraient alors normales principales de toutes leurs trajectoires orthogonales {cf. première Partie, p. 1 14)-

Signalons enfin une propriété intéressante des courbes définies par l'équation intrinsèque (i5); cette propriété, qu'on vérifiera sans peine et que nous nous abstiendrons de démontrer, consiste dans le théorème suivant (Comptes rendus de V Académie des Sciences, avril 1888).

Théorème. — Si de chaque point d*1 une courbe définie par V équation (i5) on décrit un cercle de rayon a dont le plan contienne la normale principale et soit incliné d' un angle i sur le plan oscillateur, toutes les trajectoires sous l'angle i de cette famille de cercles seront des courbes de Bertrand, aux mêmes paramètres que la première.