CHAPITRE I. — COlHBMtE DES LIG1NKS PLANES

la courbure de cet arc. Donc le rayon du cercle variable a pour Limite l'inverse de la courbure au point A; le cercle limite coïncide, par conséquent, avec le cercle de courbure.

Plus généralement, considérons le cercle qui passe par V et par deux points infiniment voisins M, M' : le diamètre de ce cercle variable a pour valeur

corde MM' arc MM'

sinMAS MAS

Mais nous avons vu que l'angle MAS est équivalent à la demicourbure de l'arc MM' ; le diamètre du cercle variable a donc pour limite le double du rayon de courbure et le cercle limite coïncide encore avec le cercle de courbure ; d'où le théorème suivant :

Théorème. — Le cercle de courbure en un point A est la limite d'un cercle variable assujetti : soit à toucher la courbe en A et à passer par un point infiniment voisin de A, soit à passer par le point A et par deux autres points infiniment voisins.

Cette dernière définition conduit à une conséquence intéressante ; projetons le triangle infiniment petit sur un plan qui fasse avec celui de la figure un angle G et passons à la limite ; en désignant par \ l'angle que fait la tangente en A avec le plan de projection, par Pv, R' les rayons de courbure de la ligne donnée et de sa projection, on a évidemment

cos3X cosô

Cherchons enfin quel est, de tous les cercles passant par le point A, celui qui s'approche le plus de la courbe donnée dans le voisinage de A. Il est évident d'abord que ce cercle doit toucher la courbe au point A ; soit, d'autre part, m le point où il coupe l'ordonnée MP du point M infiniment voisin ; l'écart entre la courbe et le cercle est mesuré par le segment m M ; pour que cet écart soit minimum, il faut évidemment, d'abord, que m P, MP soient de même signe; donc le cercle et la courbe doivent se toucher intérieurement. Ceci posé, on a, pour la courbe et pour le cercle,

A rn- MP = AMsinA, mP = ,

p étant le rayon du cercle ; mais A étant, comme nous l'a\ons vu, équivalent à la demi-courbure de l'arc AM, MP a pour partie

principale — rr— j on en conclut que la partie principale de m M

sera, au signe près, en remarquant que ÀM et A/?z, équivalents tous deux à AP, sont équivalents entre eux :

AM2 / 1 i \ R/

La distance m M est donc du second ordre pour tout cercle tangent à la courbe au point A ; dans un cas seulement, /??M est d'un ordre supérieur : c'est lorsque p = R; d'où ce théorème :

Théorème. — Le cercle de courbure est, de tous les cercles qui touchent la courbe au point A, celui qui s'en approche le plus dans les environs du point A.

Envisagé à ce point de vue, le cercle de courbure prend le nom de cercle oscillateur; on voit que la différence des ordonnées en des points correspondants du cercle et de la courbe, infiniment voisins de A, est en général du troisième ordre et change de signe en même temps que l'abscisse AP, d'où l'on conclut qiC en un point ordinaire la courbe est traversée par son cercle oscillateur.

ï). Construction géométrique du cercle de courbure. — Une ligne plane peut être, en général, définie de plusieurs manières, auxquelles correspondent autant de solutions différentes pour un problème déterminé, s'il s'agit, par exemple, de construire en un point de cette ligne la tangente ou le cercle de courbure. Pour obtenir une telle solution, il j aura presque toujours avantage à ne pas recourir aux formules de l'Analyse et à raisonner directement sur la définition particulière donnée.

Proposons-nous, par exemple, de construire le cercle oscillateur d'une ellipse; nous pouvons supposer cette courbe définie, soit par un système de diamètres conjugués, soit comme projection orthogonale d'un cercle, soit encore par ses foyers et son grand axe ; plaçons-nous successivement à ces différents points de vue :