CHAPITRE XIV. — SURFACES DÉVELOPPABLES. COURBES GAUCHES

pour équations

P — a\ f-6Y + cZ+A=0, |'|- r/,.\ :-i1V+('1Z + //| = 0,

«, b1 cà, (( i , />i , C{ h i ciant fonctions d'un paramètre £, reste tangente à une courbe fixe. Si cela a lieu, les coordonnées x, y, z du point de eontactetle paramètre / sont quatre quantités variables satisfaisant identiquement aux deux équations

qui expriment que le point de contact appartient à la droite donnée, et aux deux suivantes

a dx -+- b dy -+- c dz

«i dx -H 6| t/y + c, rf; = o,

qui expriment que le déplacement de ce point est parallèle à chacun des plans P = o, Q = o. Ceci posé, différentions totalement les deux identités (i) et (2) en tenant compte des deux identités (3), ce qui nous donne, les accents désignant des dérivées prises par rapport à t,

d'où, en éliminant .r, y, ; entre (1 ), (2), (1') et (2'),

Cette équation (4) exprime une condition nécessaire pour que la droite reste tangente à une courbe fixe; cette condition est d'ailleurs suffisante car, en la supposant remplie, les équations (V), (2'), (1), (2) sont compatibles et donnent pour x, y, z des valeurs qui sont fonctions de / ; ce qui définit les coordonnées d'un point quelconque de la courbe en fonction du paramètre t. On peut énoncer ce résultat, sous forme géométrique, de la manière suivante :

Théorème. — Pour qu'une droite mobile, à un paramètre,

D. ir->

demeure constant ment tangente, à une courbe., il faut et a suffit que chaque position de la droite soit dans un même plan avec la position infiniment voisine.

On peut encore présenter la condition sous une aulre forme. Supposons les équations (i) et (2) mises sous la forme

X = aZ -h p, Y = b Z ■+- q,

ce qui réduit la condition (4) à la forme suivante : (5) a q' — b'p' = o.

Or la plus courte distance 0 entre les deux droites D, D,

<1>,) X = a1Z-t-p1, Y = btZ-+- qx

est donnée par la formule

(ai—a)(qi—q) — (bl — b)(pi — p)

y\ «i — a v!->~ ( b{ — 6)2-f- ( at>{ — bai)1

qui devient, en supposant /, — t infiniment petit, égale à dt

y/«'2 -t- 6'2-i- ( ab' — bi

cit.

Pour que la condition (5) soit vérifiée, il faut et il suffit que 0 soit d'ordre supérieur à un ; donc :

Pour qu'une droite mobile demeure tangente à une courbe, il faut et il suffit que la /dus courte distance entre deux positions infiniment voisines de cette droite soit constamment d'un ordre supérieur au premier.

Remarquons encore cette propriété intéressante dune suite de droites que si la plus courte distance de deux droites successives n'est pas du premier ordre, elle est toujours au moins du troisième (Bouquet).

64. Directrices du déplacement à un paramètre. — Lorsque les coefficients de l'équation d'un plan mobile sont liés par une condition analytique déterminée, cette relation peut toujours se