CHAPITRE XIV. — SURFACES DÉVEL0PPABLE8. COURBES GAUCHES

traduire par l'obligation pour le plan de rester tangent à une courbe ou à une surface donnée. Il est important de remarquer que la caractéristique du plan mobile contient toujours le point de contact du plan avec cette courbe ou surface directrice.

Soil en effet M(.r, y} z), le point de contact du plan mobile avec la courbe ou la surface. L'équation de ce plan peut s'écrire

(11 Ai X— a?j + B(Y -7) + C(Z- z) = o.

Sa caractéristique est déterminée par l'équation (i ) et la suivante

Mais que le point M se meuve sur une ligne ou sur une surface tangente en M au plan (i), son déplacement, dont les coefficients

Ci ~F CI V Ci S

de direction sont -j-, — > -t-> s'effectue à partir de M parallèlement au plan (i), en sorte que le second membre de (2) est nul, ce qui démontre la proposition.

Courbe de distance nulle. Développable isotrope. — L'équation d'un plan mobile dépendant de trois paramètres, il faut, pour qu'un seul reste variable, assujettir ce plan à deux conditions ; ces deux conditions seront de rester tangent à deux directrices fixes qui pourront être deux surfaces, ou deux courbes, ou bien une courbe et une surface.

Un cas particulier important, bien qu'il ne concerne que des courbes et des surfaces imaginaires, est celui où l'une des deux directrices est le cercle de l'infini, la surface des caractéristiques prend alors le nom de développable isotrope ou de développable focale, et l'équation du plan mobile étant

«X + iY + cZ + ^ = 0,

l'une des deux conditions imposées à ses coefficients est de satisfaire à l'équation

Les propriétés spéciales d'une telle développable découlent immédiatement de la relation (6).

i° Les caractéristiques sont des droites isotropes. — Cela résulte du théorème démontré plus haut, relativement à un plan mobile assujetti à toucher constamment une courbe fixe.

a0 L'arête de rebroussement est une ligne de distance nulle. — Les variations d.v, dy, dz des coordonnées du point de rebroussement sont en effet proportionnelles aux coefficients de direction de la caractéristique et satisfont, par suite, à la condition

dx2 -+- dy2 -+- dz- = ds- = o.

3° La normale en un point quelconque coïncide avec la caractéristique qui passe par ce point. — On peut, en effet, mettre l'équation (6) et sa dérivée sous la forme

a.a-\-b.b->r-c.c = o aa -+- bb' -+- ce' = o.

La perpendiculaire au plan mobile est donc parallèle à la fois à ce plan et au plan infiniment voisin; elle a donc même direction que la caractéristique.

4° Toute ligne tracée sur une développable isotrope est une trajectoire orthogonale de ses génératrices. — Cette propriété ne diffère de la précédente que par la manière dont nous l'énonçons.

5° On peut encore donner à cet énoncé une autre forme : nous avons (§ 36) appelé, en général, normalie, la surface réglée, lieu des normales à une surface (S) dont le pied est sur une courbe donnée (C); on nomme ligne de courbure de (S) toute courbe (G) dont la normalie est développable. Lorsque (S) est une développable isotrope, la normalie dune courbe quelconque tracée sur S se réduit à cette surface elle-même; donc, toute ligne tracée sur une développable focale est une ligne de courbure. Cette propriété qui est évidente pour le plan et pour la sphère n'apparlient, en dehors de ces deux surfaces, qu'aux développables isotropes.

Nous verrons plus loin une application, à la théorie des développées, de ces développables particulières, qui interviennent d'ailleurs utilement dans bien des questions relatives à la théorie générale des courbes et des surfaces.

6o. Lignes tracées sur une surface développable. — Soit (G) l'arête de rebroussement ( ftg. 84), MT la tangente au point M