CHAPITRE XIV. — SURFACES DEVELOPPABLES. COURBES CAUCIIES

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défini par son abscisse curviligne s comptée à partir d'un point fixe A. Un point M, <[uelconque de la surface est défini par deux coordonnées curvilignes dont l'une est cet arc A M = s,, l'autre le segment MM, = /; toute équation de la forme /=cp(s) définit une courbe située sur la surface. Les coordonnées .r,, Vi, 3| du

point M, sont liées à celles du point M par trois équations dont nous écrivons seulement la première

,rj = x -+- /a;

dérivons en appliquant les formules de Serret et en conservant nos notations habituelles, nous aurons le long de la courbe

a, d.Si = a f( i -i- a>'( s )\ ds ■+- l — • ds ;

ajoutons les carrés de cette équation et des deux équations analogues et posons

il vient

i -+- o'(s) — h cosi, ^ = h sin i,

dsi = hds\

ai = acost -+- a' siru, pi = ^cosf -i- P' sini, Y i = y cos i ■+■ y' sin i .

On déduit des équations (9) les deux relations

««1 ■+• PPi H- YYi — cos h ai *" -+- rh fP" ■+■ ïi ï" = ° 5

la première nous donne le sens géométrique de l'angle i : c'est l'inclinaison de la ligne C| sur la génératrice MM, de la surface; quant à la seconde, elle exprime que la tangente à une courbe quelconque (C,) passant en M, est située dans le plan oscillateur de l'arête de rebroussement au point M ; en d'autres termes, que le plan tangent à la surface coïncide, tout le long de chaque génératrice, avec le plan oscillateur de V arête de rebroussement.

Normale principale. Courbure. — La normale principale et le rayon de courbure de (C,) se déduisent des formules (9) par une dérivation et l'on obtient ainsi

, a', a' . /a a" \ . . . . . . . di

(10) // — i- = — cost — I -Tj -+- — ) sini -+- (a cosi — a sini)-j-

, . . . I di \ \ a" . .

= (a cost — a sini) I -z — h -g- I — — sin 1

et deux autres relations analogues. La somme des carrés de ces trois équations donne l'expression de la courbure

, . I h Y2 sin2î / 1 di

T^ \K ds

En portant cette valeur dans les équations (10), on obtiendrait

«i» Pi» Y'.- Connaissant les cosinus directeurs de la normale principale et de

la tangente, on aura immédiatement ceux de la binormale, et l'on en déduira, en dérivant encore ces derniers par rapport à \,. la torsion de la courbe (G, ).

Courbure tangentielle. — On appelle, en général, courbure tangentielle d'une ligne tracée sur une surface quelconque le produit de la courbure propre -^ de cette ligne au point M par le cosinus de l'angle 5 que fait le plan osculateur de la courbe avec le plan tangent à la surface. Proposons-nous de trouver la courbure tangentielle de la ligne (C,) située sur la surface développable dont l'arête de rebroussement est (C). Soit M|N, {fig. 84) la normale principale de cette courbe, M,T| est l'arête du dièdre S formé par le plan osculateur et le plan tangent. On a donc, dans le trièdre